设双曲线 $C: x^2-\frac{y^2}{2}=1$．试问：是否存在满足如下条件的直线 $l$？
（a）直线 $l$ 经过双曲线 $C$ 的某个焦点，且与双曲线 $C$ 有两个交点 $A,B$；
（b）$\angle AOB=90^{\circ}$．
若存在，试求出所有这样的直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．
（a）直线 $l$ 经过双曲线 $C$ 的某个焦点，且与双曲线 $C$ 有两个交点 $A,B$；
（b）$\angle AOB=90^{\circ}$．
若存在，试求出所有这样的直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(11)
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设存在这样的直线 $l$．不妨设直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的右焦点 $F(\sqrt{3},0)$．
若直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直，则 $A$ 的坐标为 $(\sqrt{3},\pm2)$，$B$ 的坐标为 $(\sqrt{3},\pm2)$．此时，$\angle AOB=2\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}>\frac{\pi}{2}$，矛盾．故可设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-\sqrt{3})$．
设 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，$B$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$．由 $\angle AOB=90^{\circ}$，即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，知$$x_1x_2+y_1y_2=0.~~~~~~ ① $$联立直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的方程，消去 $y$，整理得$$(k^2-2)x^2-2\sqrt{3}k^2x+(3k^2+2)=0.~~~~ ② $$若 $k^2=2$，则方程 ② 只有一个根，至多只有对应一个交点，矛盾．故 $k^2\neq 2$．由韦达定理，得$$x_1+x_2=\frac{2\sqrt{3}k^2}{k^2-2}, x_1x_2=\frac{3k^2+2}{k^2-2}.$$于是$$\begin{aligned}
y_1y_2&=k^2(x_1-\sqrt{3})(x_2-\sqrt{3})=k^2(x_1x_2-\sqrt{3}(x_1+x_2)+3)\\
&=k^2\left(\frac{3k^2+2}{k^2-2}-\frac{6k^2}{k^2-2}+\frac{3k^2-6}{k^2-2}\right)=-\frac{4k^2}{k^2-2}.\\
\end{aligned}$$结合式 ①，知$$\frac{3k^2+2}{k^2-2}-\frac{4k^2}{k^2-2}=0\Rightarrow \frac{2-k^2}{k^2-2}=0,$$矛盾．因此，不存在满足条件的直线 $l$．
若直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直，则 $A$ 的坐标为 $(\sqrt{3},\pm2)$，$B$ 的坐标为 $(\sqrt{3},\pm2)$．此时，$\angle AOB=2\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}>\frac{\pi}{2}$，矛盾．故可设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-\sqrt{3})$．
设 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，$B$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$．由 $\angle AOB=90^{\circ}$，即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，知$$x_1x_2+y_1y_2=0.~~~~~~ ① $$联立直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的方程，消去 $y$，整理得$$(k^2-2)x^2-2\sqrt{3}k^2x+(3k^2+2)=0.~~~~ ② $$若 $k^2=2$，则方程 ② 只有一个根，至多只有对应一个交点，矛盾．故 $k^2\neq 2$．由韦达定理，得$$x_1+x_2=\frac{2\sqrt{3}k^2}{k^2-2}, x_1x_2=\frac{3k^2+2}{k^2-2}.$$于是$$\begin{aligned}
y_1y_2&=k^2(x_1-\sqrt{3})(x_2-\sqrt{3})=k^2(x_1x_2-\sqrt{3}(x_1+x_2)+3)\\
&=k^2\left(\frac{3k^2+2}{k^2-2}-\frac{6k^2}{k^2-2}+\frac{3k^2-6}{k^2-2}\right)=-\frac{4k^2}{k^2-2}.\\
\end{aligned}$$结合式 ①，知$$\frac{3k^2+2}{k^2-2}-\frac{4k^2}{k^2-2}=0\Rightarrow \frac{2-k^2}{k^2-2}=0,$$矛盾．因此，不存在满足条件的直线 $l$．
答案
解析
备注
