已知椭圆 $\Gamma_k: 4x^2+y^2-8kx-4ky+8k^2-4=0$（$k\in\mathbb{R}$）．问：是否存在这样的直线 $l$，使得对任意实数 $k,l$ 被椭圆 $\Gamma_k$ 截得的线段长都等于 $\frac{\sqrt{5}}{2}$？若存在，试求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(20)
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设存在这样的直线 $l$．椭圆 $\Gamma_k$ 的方程可化为$$(x-k)^2+\frac{(y-2k)^2}{4}=1,$$则椭圆的中心为 $(k,2k)$，即中心在直线 $y=2x$ 上．故上述椭圆由椭圆 $\Gamma_0: x^2+\frac{y^2}{4}=1$ 平移 而得．因此，对任意实数 $k$，直线 $l$ 被椭圆 $\Gamma_k$ 截得的线段长相等当且仅当 $l$ 与直线 $y=2x$ 平行．
设直线 $l: y = 2x + b$，其与椭圆 $\Gamma_0$ 的交点为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$．由$$\left\{\begin{aligned}
&y=2x+b,\\ &x^2+\frac{y^2}{4}=1,\\
\end{aligned}\right.$$消去 $y$ 得$$2x^2+bx+\frac{b^2}{4}-1=0.$$由韦达定理，得$$x_1+x_2=-\frac{b}{2}, x_1x_2=\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{4}-1\right).$$于是$$\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{1^2+2^2}|x_1-x_2|=\sqrt{5(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{5\left(\frac{b^2}{4}-2\left(\frac{b^2}{4}-1\right)\right)},$$即$$\frac{1}{2}=\sqrt{-\frac{b^2}{4}+2}\Rightarrow b=\pm \sqrt{7}.$$故所求的直线 $l$ 为 $y=2x\pm \sqrt{7}$．
设直线 $l: y = 2x + b$，其与椭圆 $\Gamma_0$ 的交点为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$．由$$\left\{\begin{aligned}
&y=2x+b,\\ &x^2+\frac{y^2}{4}=1,\\
\end{aligned}\right.$$消去 $y$ 得$$2x^2+bx+\frac{b^2}{4}-1=0.$$由韦达定理，得$$x_1+x_2=-\frac{b}{2}, x_1x_2=\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{4}-1\right).$$于是$$\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{1^2+2^2}|x_1-x_2|=\sqrt{5(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{5\left(\frac{b^2}{4}-2\left(\frac{b^2}{4}-1\right)\right)},$$即$$\frac{1}{2}=\sqrt{-\frac{b^2}{4}+2}\Rightarrow b=\pm \sqrt{7}.$$故所求的直线 $l$ 为 $y=2x\pm \sqrt{7}$．
答案
解析
备注
