若椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 上不同的三点 $A(x_1,y_1),B(4,\dfrac{9}{5}),C(x_2,y_2)$ 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段 $AC$ 的中垂线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $T$，求直线 $BT$ 的方程．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$25x-20y=64$
【解析】
用 $a,b,c$ 分别表示椭圆的半长轴，半短轴及半焦距之长度，则 $a=5,b=3,c=4$，右焦点为 $F(4,0)$，且准线方程为 $x=\dfrac{a^2}{c}$，由 $\dfrac{AF}{\dfrac{a^2}{c}-x_1}=\dfrac{c}{a},\dfrac{CF}{\dfrac{a^2}{c}-x_2}=\dfrac{c}{a}$，得 $AF=5-\dfrac{4}{5}x_1,CF=5-\dfrac{4}{5}x_2$，根据等差性质，$AF+CF=2BF$，而 $BF=\dfrac{9}{5}$，即 $(5-\dfrac{4}{5}x_1)+(5-\dfrac{4}{5}x_2)=\dfrac{18}{5}$，所以 $x_1+x_2=8$．① 设线段 $AC$ 的中点为 $D$，则其坐标为 $D(4,\dfrac{y_1+y_2}{2})$．又设点 $T$ 的坐标为 $T(x_0,0)$，则 $AC$ 的中垂线 $DT$ 的方程为 $y-\dfrac{y_1+y_2}{2}=-\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}(x-4)$．因 $T(x_0,0)$ 在此直线上，故有 $ 0-\dfrac{y_1+y_2}{2}=-\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}(x_0-4)$，即 $x_0-4=\dfrac{y_1^2-y_2^2}{2(x_1-x_2)}$．② 又根据 $A,B$ 在椭圆上，得 $y_1^2=\dfrac{9}{25}(25-x_1^2),y_2^2=\dfrac{9}{25}(25-x_2^2)$，所以 $y_1^2-y_2^2=-\dfrac{9}{25}(x_1+x_2)(x_1-x_2)$，据 ①，既有 $\dfrac{y_1^2-y_2^2}{2(x_1-x_2)}=-\dfrac{36}{25}$．③ 再据 ②③ 得 $x_0=\dfrac{64}{25}$，即点 $T$ 的坐标为 $T(\dfrac{64}{25},0)$，于是直线 $BT$ 的方程为 $25x-20y=64$．
答案
解析
备注
