经过点 $M(2,-1)$ 作抛物线 $ y^2=x $ 的四条不同的弦 $ P_iQ_i $（$ i=1,2,3,4 $），且 $ P_1,P_2,P_3,P_4 $ 四点的纵坐标依次成等差数列．证明：$$\frac{P_1M}{MQ_1}-\frac{P_2M}{MQ_2}>\frac{P_3M}{MQ_3}-\frac{P_4M}{MQ_4}.$$
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $P_i(y_i^2,y_i), Q_i(y_i'^2,y_i'), \lambda_i=\frac{\overrightarrow{P_iM}}{\overrightarrow{MQ_i}}$（$\lambda_i\neq -1, i=1,2,3,4$）．由定比分点公式，得$$\left\{\begin{aligned}
&\frac{y_i^2+\lambda_iy_i'^2}{1+\lambda_i}=2,\\
&\frac{y_i+\lambda_iy_i'}{1+\lambda_i}=-1.\\
\end{aligned}\right.$$消去 $y_i'$，得$$(\lambda_i+1)y_i^2+2(\lambda_i+1)y_i-\lambda_i^2+1=0,$$即$$y_i^2+2y_i-(\lambda_i-1)=0\Rightarrow \lambda_i=(y_i+1)^2.$$由 $y_1,y_2,y_3,y_4$ 成等差数列，设其公差为 $d$（$d\neq 0$），则$$\begin{aligned}
&\left(\frac{P_1M}{MQ_1}-\frac{P_2M}{MQ_2}\right)-\left(\frac{P_3M}{MQ_3}-\frac{P_4M}{MQ_4}\right)\\
&=(\lambda_1-\lambda_2)-(\lambda_3-\lambda_4)\\
&=((y_1+1)^2-(y_2+1)^2)-((y_3+1)^2-(y_4+1)^2)\\
&=(y_1-y_2)(y_1+y_2+2)-(y_3-y_4)(y_3+y_4+2)\\
&=-d(y_1+y_2-y_3-y_4)\\
&=-d(-4d)=4d^2>0.\\
\end{aligned}$$故$$\frac{P_1M}{MQ_1}-\frac{P_2M}{MQ_2}>\frac{P_3M}{MQ_3}-\frac{P_4M}{MQ_4}.$$
&\frac{y_i^2+\lambda_iy_i'^2}{1+\lambda_i}=2,\\
&\frac{y_i+\lambda_iy_i'}{1+\lambda_i}=-1.\\
\end{aligned}\right.$$消去 $y_i'$，得$$(\lambda_i+1)y_i^2+2(\lambda_i+1)y_i-\lambda_i^2+1=0,$$即$$y_i^2+2y_i-(\lambda_i-1)=0\Rightarrow \lambda_i=(y_i+1)^2.$$由 $y_1,y_2,y_3,y_4$ 成等差数列，设其公差为 $d$（$d\neq 0$），则$$\begin{aligned}
&\left(\frac{P_1M}{MQ_1}-\frac{P_2M}{MQ_2}\right)-\left(\frac{P_3M}{MQ_3}-\frac{P_4M}{MQ_4}\right)\\
&=(\lambda_1-\lambda_2)-(\lambda_3-\lambda_4)\\
&=((y_1+1)^2-(y_2+1)^2)-((y_3+1)^2-(y_4+1)^2)\\
&=(y_1-y_2)(y_1+y_2+2)-(y_3-y_4)(y_3+y_4+2)\\
&=-d(y_1+y_2-y_3-y_4)\\
&=-d(-4d)=4d^2>0.\\
\end{aligned}$$故$$\frac{P_1M}{MQ_1}-\frac{P_2M}{MQ_2}>\frac{P_3M}{MQ_3}-\frac{P_4M}{MQ_4}.$$
答案
解析
备注
