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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15379 598914055ed01a000ad799f3 高中 解答题 自招竞赛 求正整数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}$ 和 $n$，使得 $k_{1}+k_{2}+\cdots k_{n}=5n-4$，且 $\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\cdots +\dfrac{1}{k_{n}}=1$． 2022-04-17 19:07:13
15330 59a36fb1fc0b3d0008a811d6 高中 解答题 自招竞赛 证明：$\sqrt 5-\sqrt 3$ 是无理数． 2022-04-17 19:41:12
15328 59a76b86c302170008f62a2e 高中 解答题 自招竞赛 已知关于 $x$ 的方程 $ax^2-2x+2a^2-4=0$ 的解均为整数，求实数 $a$ 的值． 2022-04-17 19:40:12
15321 59b73315b049650008cb66e7 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $m$，证明：存在正整数 $k$，使得可将正整数集 $\mathbb N^*$ 分拆为 $k$ 个互不相交的子集 $A_1,A_2,\cdots,A_k$，每个子集 $A_i$ 中均不存在 $4$ 个数 $a,b,c,d$（可以相同），满足 $ab-cd=m$． 2022-04-17 19:36:12
15320 59b73332b049650007283196 高中 解答题 自招竞赛 设 $m,n$ 均是大于 $1$ 的整数，$m\geqslant n$．$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 个不超过 $m$ 的互不相同的正整数，且 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 互素．证明：对任意实数 $x$，均存在一个 $i(1\leqslant i\leqslant n)$，使得 $||a_ix||\geqslant\dfrac{2}{m(m+1)}||x||$，这里 $||y||$ 表示实数 $y$ 到与它最近的整数的距离． 2022-04-17 19:36:12
15311 59bb3b4f77c760000717e3b3 高中 解答题 自招竞赛 求一个数 $k$，使得对所有 $n$，$k\cdot 2^n+1$ 都是合数． 2022-04-17 19:31:12
15291 5a24c5bdf25ac10009ad6e4b 高中 解答题 自招竞赛 若一些实数组成的集合可划分为三个非空子集，使得对取自任两个不同子集的任意元素 $x,y$，均有 $2(x+y)$ 在第三个子集中，则称此集合具有可分二倍和性质，试判断所有有理数组成的集合是否具有可分二倍和性质，并证明你的结论． 2022-04-17 19:21:12
15273 5c6a218b210b281db9f4c6d3 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{a}_{n}}={{6}^{n}}+{{8}^{n}}$，求 ${{a}_{83}}$ 被49除的余数． 2022-04-17 19:12:12
15272 5c6a21d0210b281dbaa9330f 高中 解答题 自招竞赛 整数 $n=\text{C}_{200}^{100}$ 的两位素数因子的最大值是多少？ 2022-04-17 19:12:12
15268 5c6a3f04210b281dbaa93358 高中 解答题 自招竞赛 最大的不能写成两个奇合数之和的偶数是几？ 2022-04-17 19:09:12
15261 5c6a44e2210b281dbaa9337c 高中 解答题 自招竞赛 $x$ 是实数，问前1000个正整数当中有多少个可以表示成 $\left[ 2x \right]+\left[ 4x \right]+\left[ 6x \right]+\left[ 8x \right]$ 的形式？ 2022-04-17 19:06:12
15259 5c6a4e50210b281dbaa933b9 高中 解答题 自招竞赛 求最大的正整数 $n$，使得 ${{n}^{3}}+100$ 能被 $n+10$ 整除． 2022-04-17 19:05:12
15257 5c6a4e82210b281dbaa933c8 高中 解答题 自招竞赛 在一种游戏中，“魔术师”请一个人随意想一个三位数 $\left( abc \right)$（其中 $a$，$b$，$c$ 依次是这个数的各个数位上的十进制数字），并请此人造出5个数 $\left( acb \right)$，$\left( bac \right)$，$\left( bca \right)$，$\left( cab \right)$ 和 $\left( cba \right)$，求出这5个数的和 $N$，把和 $N$ 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数 $\left( acb \right)$．
现在设 $N=3194$，请你做魔术师，求出数 $\left( acb \right)$ 来．		 2022-04-17 19:04:12
15254 5c6a5332210b281db9f4c794 高中 解答题 自招竞赛 非负整数有序数对 $\left( m ,n \right)$，若在求和 $m+n$ 时无须进位（十进制下），则称它为“简单”的．求所有和为1492的简单的非负整数有序数对的个数． 2022-04-17 19:02:12
15250 5c6a5eff210b281db9f4c7ee 高中 解答题 自招竞赛 如果 $a$，$b$ 是整数，且 ${{x}^{2}}-x-1$ 是 $a{{x}^{17}}+b{{x}^{16}}+1$ 的因式．试求 $a$ 的值． 2022-04-17 19:00:12
15248 5c6a74b6210b281db9f4c81e 高中 解答题 自招竞赛 1960年三位美国数学家证明存在一个正整数 $n$，使得 ${{133}^{5}}+{{110}^{5}}+{{84}^{5}}+{{27}^{5}}={{n}^{5}}$，推翻了欧拉的一个猜想，求 $n$ 的值． 2022-04-17 19:59:11
15240 5c6e3b76210b281db9f4ca32 高中 解答题 自招竞赛 对每个实数 $x$，以 $\left[ x \right]$ 记不超过 $x$ 的最大整数．有多少个正整数 $n$，使得 $n<1000$ 且 $\left[ {{\log }_{2}}n \right]$ 是正偶数？ 2022-04-17 19:55:11
15235 5c6f630d210b280151d749cb 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f\left( z \right)=\left( a+b\text{i} \right)z$ 是定义在复数集上的函数，其中 $a$，$b$ 均为正数．这个函数具有如下性质：复平面上任意一点的映象到该点与原点的距离相等．已知 $\left| a+b\text{i} \right|=8$ 且 ${{b}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 19:51:11
15230 5c6fb678210b28428f14c975 高中 解答题 自招竞赛 两个不同的无穷等比级数（各项均为实数），每个级数的各项之和等于1．两级数的第二项相同，且均可表示成 $\frac{\sqrt{m}-n}{p}$ 的形式，$m$，$n$，$p$ 为正整数，且 $m$ 不被任何素数的平方整除，其中一个级数的第三项等于 $\frac{1}{8}$．试求 $100m+10n+p$ 的值． 2022-04-17 19:49:11
15228 5c74aba2210b28428f14cb34 高中 解答题 自招竞赛 给定多项式 $P\left( x \right)={{x}^{6}}-{{x}^{5}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x$，$Q\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-1$，设 ${{z}_{1}} {{z}_{2}} {{z}_{3}} {{z}_{4}}$ 为 $Q\left( x \right)=0$ 的根，求 $P\left( {{z}_{1}} \right)+P\left( {{z}_{2}} \right)+P\left( {{z}_{3}} \right)+P\left( {{z}_{4}} \right)$． 2022-04-17 19:48:11
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