1960年三位美国数学家证明存在一个正整数 $n$，使得 ${{133}^{5}}+{{110}^{5}}+{{84}^{5}}+{{27}^{5}}={{n}^{5}}$，推翻了欧拉的一个猜想，求 $n$ 的值．
【难度】
【出处】
1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
144
【解析】
因作任意正整数的5次幂的末位数与它的末位数相同．所以 ${{133}^{5}}$，${{110}^{5}}$，${{84}^{5}}$，${{27}^{5}}$ 的末位数分别是3，0，4，7．这四个数的和末位数是4，故 ${{n}^{5}}$ 的末位数是4，从而 $n$ 的末位数是4．
又任意数的5次幂用3除与它本身用3除的余数相同，所以 ${{133}^{5}}$，${{110}^{5}}$，${{84}^{5}}$，${{27}^{5}}$ 用3的倍数，还可以分析出，$133<n<200$．故 $n$ 只能是144或174．
又一个数的5次幂用7除与它本身用7除余数相同，故 ${{133}^{5}}$，${{84}^{5}}$，${{110}^{5}}$，${{27}^{5}}$ 各数用7除余娄和分别是0，0，5，6．从而 ${{n}^{5}}$ 用 $7$ 除的余数是4．这样可以得到 $n=144$．
又任意数的5次幂用3除与它本身用3除的余数相同，所以 ${{133}^{5}}$，${{110}^{5}}$，${{84}^{5}}$，${{27}^{5}}$ 用3的倍数，还可以分析出，$133<n<200$．故 $n$ 只能是144或174．
又一个数的5次幂用7除与它本身用7除余数相同，故 ${{133}^{5}}$，${{84}^{5}}$，${{110}^{5}}$，${{27}^{5}}$ 各数用7除余娄和分别是0，0，5，6．从而 ${{n}^{5}}$ 用 $7$ 除的余数是4．这样可以得到 $n=144$．
答案
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备注
