设 ${{a}_{n}}={{6}^{n}}+{{8}^{n}}$，求 ${{a}_{83}}$ 被49除的余数．
【难度】
【出处】
1983年第1届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
35
【解析】
对于奇数 $n$，
${{a}_{n}}={{\left(7-1 \right)}^{n}}+{{\left( 7+1 \right)}^{n}}$
$=\left({{7}^{n}}-\text{C}_{n}^{1}{{7}^{n-1}}+\cdots -1 \right)+\left({{7}^{n}}+\text{C}_{n}^{1}{{7}^{n-1}}+\cdots +1 \right)$
$=2\left( {{7}^{n}}+\text{C}_{n}^{2}{{7}^{n-2}}+\cdots+\text{C}_{n}^{n-3}{{7}^{3}}+\text{C}_{n}^{n-1}7 \right)$
$=2\times 49\left({{7}^{n-2}}+\text{C}_{n}^{2}{{7}^{n-4}}+\cdots \text{+C}_{n}^{n-3}7\right)+14n$，
所以 ${{a}_{83}}=49k+14\times83=49k+1162$，
其中 $k$ 是整数．因此 ${{a}_{83}}$ 被49除的余数与1169被49除的余数相同，就是35．
${{a}_{n}}={{\left(7-1 \right)}^{n}}+{{\left( 7+1 \right)}^{n}}$
$=\left({{7}^{n}}-\text{C}_{n}^{1}{{7}^{n-1}}+\cdots -1 \right)+\left({{7}^{n}}+\text{C}_{n}^{1}{{7}^{n-1}}+\cdots +1 \right)$
$=2\left( {{7}^{n}}+\text{C}_{n}^{2}{{7}^{n-2}}+\cdots+\text{C}_{n}^{n-3}{{7}^{3}}+\text{C}_{n}^{n-1}7 \right)$
$=2\times 49\left({{7}^{n-2}}+\text{C}_{n}^{2}{{7}^{n-4}}+\cdots \text{+C}_{n}^{n-3}7\right)+14n$，
所以 ${{a}_{83}}=49k+14\times83=49k+1162$，
其中 $k$ 是整数．因此 ${{a}_{83}}$ 被49除的余数与1169被49除的余数相同，就是35．
答案
解析
备注
