最大的不能写成两个奇合数之和的偶数是几？
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
38
【解析】
先证明：如果 $k\geqslant 40$，$k$ 是偶数，那么 $k$ 可以表示成两个奇合数之和．为此，如果 $n$ 是大于1的奇数，则 $5n$ 是一个个位数字为5的奇合数．为了把大于40的偶数表为两个奇合数的和，只需再找到一些小的个位数为5，7，9，1，3的奇合数，并把它们加到形如 $5n$ 的奇合数上即可．易知，15，27，9，21，23就是这样的奇合数．
在下面各情况中，都可以找出奇数 $n>1$，使得不小于40的偶数都可以表为两个奇合数之和．
如果 $k$ 的个位数字是0（即40，50，60，…），则 $k=15+5n$；
如果 $k$ 的个位数字是2（即42，52，62，…），则 $k=27+5n$；
如果 $k$ 的个位数字是4（即44，54，64，…），则 $k=9+5n$；
如果 $k$ 的个位数字是6（即46，56，66，…），则 $k=21+5n$；
如果 $k$ 的个位数字是8（即48，58，68，…），则 $k=33+5n$．
因此最大的不能写成两个奇合数之和的偶数可能是38．经检验，38确实满足这个要求．
在下面各情况中，都可以找出奇数 $n>1$，使得不小于40的偶数都可以表为两个奇合数之和．
如果 $k$ 的个位数字是0（即40，50，60，…），则 $k=15+5n$；
如果 $k$ 的个位数字是2（即42，52，62，…），则 $k=27+5n$；
如果 $k$ 的个位数字是4（即44，54，64，…），则 $k=9+5n$；
如果 $k$ 的个位数字是6（即46，56，66，…），则 $k=21+5n$；
如果 $k$ 的个位数字是8（即48，58，68，…），则 $k=33+5n$．
因此最大的不能写成两个奇合数之和的偶数可能是38．经检验，38确实满足这个要求．
答案
解析
备注
