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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
8424 59ba35d398483e0009c730f6 高中 填空题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=\left(\sqrt 2+1\right)^n-\left(\sqrt 2-1\right)^n$（$n\in\mathbb N^*$），则 $\left[a_{2017}\right]$ 的个位数字是 ． 2022-04-16 21:49:59
8423 59ba35d398483e0009c730fc 高中 填空题 高中习题 设 $S=\dfrac{1}{2017}{\rm C}_{2017}^0-\dfrac{1}{2016}{\rm C}_{2016}^1+\dfrac{1}{2015}{\rm C}_{2015}^2-\cdots-\dfrac{1}{1010}{\rm C}_{1010}^{1007}+\dfrac{1}{1009}{\rm C}_{1009}^{1008}$，则 $S$ 的值是 ． 2022-04-16 21:48:59
7947 590a8fcf6cddca00078f3844 高中 填空题 高中习题 数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}\sqrt{\dfrac 1{a_n^2}+4}=1$，记 $S_n=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$，若 $S_{2n+1}-S_n\leqslant \dfrac{m}{30}$ 对任意 $n\in\mathbb N^*$ 恒成立，则正整数 $m$ 的最小值是 ． 2022-04-16 21:26:55
7910 590be3ec6cddca000861106a 高中 填空题 高中习题 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，前 $n$ 项和为 $S_n$，$S_{10}=100$，$S_{100}=10$，则 $S_{110}=$  ． 2022-04-16 21:09:55
7909 590bf103d42ca700077f6472 高中 填空题 高中习题 对于数列 $\{a_n\}$，若对任意 $m,n\in\mathbb N^*\land m\neq n$，都有 $\dfrac{a_m-a_n}{m-n}\geqslant t$（$t$ 为常数）成立，则称数列 $\{a_n\}$ 具有性质 $P(t)$．
$(1)$ 若数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2^n$，且具有性质 $P(t)$，则 $t$ 的最大值为 ；
$(2)$ 若数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=n^2-\dfrac an$，且具有性质 $P(10)$，则实数 $a$ 的取值范围是 ．		 2022-04-16 21:09:55
7870 590c373d857b420007d3e558 高中 填空题 高中习题 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，其前 $n$ 项的积为 $T_n$，并且满足条件 $a_1>1$，$a_{99}\cdot a_{100}-1>0$，$\dfrac {a_{99}-1}{a_{100}-1}<0$．给出下列结论，其中正确的结论有 ．
① $0<q<1$；
② $a_{99}\cdot a_{101}-1>0$；
③ $T_{100}$ 的值是 $T_n$ 中最大的；
④ 使 $T_n>1$ 成立的最大自然数 $n$ 等于 $198$．		 2022-04-16 21:46:54
7869 590c3771857b42000aca3872 高中 填空题 高中习题 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若它的前 $n$ 项和 $S_n$ 有最大值，且 $\dfrac {a_{11}}{a_{10}}<-1$，那么当 $S_n$ 是最小正数时，$n$ 的值为 ． 2022-04-16 21:46:54
7865 590c3a28857b42000aca3885 高中 填空题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac {a_{n}-1}{a_{n}+1}$，且 $a_1=\dfrac 12$，则 $a_{2016}=$  ． 2022-04-16 21:44:54
7863 591020be857b4200085f8728 高中 填空题 高中习题 等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n>0$，且$$S_2\cdot S_3\cdots S_n=n(a_2^2-c)(a_3^2-c)\cdots (a_n^2-c),$$其中 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$．若 $a_n\leqslant\dfrac n2$（$n\in\mathbb N^*$），则实数 $c$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:43:54
7857 5910294340fdc700073df4d7 高中 填空题 高中习题 设 $a,b\in\mathbb{R}$，关于 $x$ 的方程 $(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)=0$ 的四个实根构成以 $q$ 为公比的等比数列，若 $q\in\left[\dfrac 13,2\right ]$，则 $ab$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:41:54
7818 591131b8e020e70007fbe9f4 高中 填空题 高中习题 设 $S_n$ 是各项均为非零实数的等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若对于给定的正整数 $n$（$n>1$）和正数 $M$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1^2+a_{n+1}^2=M$，则 $S_n$ 的最大值为 ． 2022-04-16 21:17:54
7817 59113222e020e7000878f559 高中 填空题 高考真题 对于 $n\in \mathbb N^*$，将 $n$ 表示为$$n=a_0\times 2^k+a_1\times 2^{k-1}+a_2\times 2^{k-2}+\cdots+a_{k-1}\times 2^1+a_k\times 2^0,$$当 $i=0$ 时，$a_i=1$；当 $1\leqslant i\leqslant k$ 时，$a_i$ 为 $0$ 或 $1$．记 $I(n)$ 为上述表示式中 $a_i$ 为 $0$ 的个数（例如 $1=1\times 2^0$，$4=1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0$，故 $I(1)=0$，$I(4)=2$），则 $I(12)=$  ；$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=$  ． 2022-04-16 21:17:54
7786 59113bf9e020e7000a79882a 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，其导函数记作 $f'(x)$，$f(0)=-2$，且 $f(x+\pi)=-\dfrac 12f(x)$．当 $x\in (0,\pi)$ 且 $x\ne\dfrac{\pi}{2}$ 时，$$f'(x)\cdot \cos 2x>f(x)\cdot \sin 2x-f'(x).$$若方程 $f(x)+k_n\sec x=0$ 在 $[0,+\infty)$ 上有 $n$ 个解，则数列 $\left\{\dfrac{n}{k_{2n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 ． 2022-04-16 21:58:53
7742 5926718dee79c2000759a9b8 高中 填空题 高中习题 已知数集 $ X=\left\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n} \right\} $（其中 $x_i>0$，$i=1,2,\cdots,n$，$n \geqslant 3$），若对任意的 $x_k \in X$（$k=1,2,\cdots,n$），都存在 $x_i,x_j \in X$（$x_i \neq x_j$），使得下列三组向量中恰有一组共线：
① 向量 $(x_i,x_k)$ 与向量 $(x_k,x_j)$；
② 向量 $(x_i,x_j)$ 与向量 $(x_j,x_k)$；
③ 向量 $(x_k,x_i)$ 与向量 $(x_i,x_j)$，
则称 $X$ 具有性质 $P$．例如 $\{1,2,4\}$ 具有性质 $P$．
若 $\{1,3,x\}$ 具有性质 $P$，则 $x$ 的取值为 ；若数集 $\{1,3,x_1,x_2\}$ 具有性质 $P$，则 $x_1+x_2$ 的最大值与最小值之积为 ．		 2022-04-16 21:36:53
7741 59267239ee79c2000a59dc14 高中 填空题 高中习题 定义映射 $f:A\mapsto B$，其中 $A=\left\{\left(m,n\right) \mid m,n\in \mathbb R\right\}$，$B=\mathbb R$，已知对所有的有序正整数对 $\left(m,n\right)$ 满足下述条件：
① $f\left(m,1\right)=1$；
② 若 $n>m$，$f\left(m,n\right)=0$；
③ $f\left(m+1,n\right)=n\left[f\left(m,n\right)+f\left(m,n-1\right)\right]$，
则 $f\left(2,2\right)=$  ，$f\left(n,2\right)=$  ．		 2022-04-16 21:36:53
7724 59267dd2ee79c20009339842 高中 填空题 高中习题 定义在 $\left( - \infty ,0\right) \cup \left(0, + \infty \right)$ 上的函数 $f\left(x\right)$，如果对于任意给定的等比数列 $\left\{ {a_n}\right\} $，$\left\{ f\left({a_n}\right)\right\} $ 仍是等比数列，则称 $f\left(x\right)$ 为“等比函数”．现有定义在 $\left( - \infty ,0\right) \cup \left(0, + \infty \right)$ 上的如下函数：
① $f\left(x\right) = {2^x}$；② $f\left(x\right) = {\log _2}\left| x \right|$；③ $f\left(x\right) = {x^2}$；④ $f\left(x\right) = \ln {2^x}$．
则其中是“等比函数”的 $f\left(x\right)$ 的序号为  ．		 2022-04-16 21:27:53
7713 59268be74df560000aca4133 高中 填空题 高中习题 把形如 $M = {m^n}$ $\left(m,n \in {{\mathbb{N^*}}}\right)$ 的正整数表示成各项都是整数、公差为 $ 2 $ 的等差数列前 $m$ 项的和，称作“对 $M$ 的 $m$ 项分划”．例如，把 $9$ 表示成 $9 = {3^2} = 1 + 3 + 5$，称作“对 $9$ 的 $ 3 $ 项分划”，把 $ 64 $ 表示成 $64 = {4^3} = 13 + 15 + 17 + 19$，称作“对 $ 64 $ 的 $ 4 $ 项分划”．据此，对 $ 324 $ 的 $ 18 $ 项分划中最大的数是  ；若 $M = {m^3}$ 的 $m$ 项分划中第 $ 5 $ 项是 $ 281 $，则 $m$ 的值是  ． 2022-04-16 21:22:53
7712 59268c558044a0000a078c96 高中 填空题 高中习题 定义“和常数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做和常数列，这个常数叫做该数列的和常．已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是和常数列，且 ${a_1} = 2$，和常为 $5$，那么 ${a_{18}}$ 的值为  ，若 $n$ 为偶数，则这个数列的前 $n$ 项和 ${S_n}$ 的计算公式为  ． 2022-04-16 21:21:53
7711 59268cc68044a00008f55a1a 高中 填空题 高中习题 在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，若 $a_n^2-a_{n-1}^2=p$（$n\geqslant 2$，$n\in \mathbb N^*$，$p$ 为常数），则称 $\left\{a_n\right\}$ 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
① 若 $\left\{a_n\right\}$ 是等方差数列，则 $\left\{a_n^2\right\}$ 是等差数列；
② $\left\{\left(-1\right)^n\right\}$ 是等方差数列；
③ 若 $\left\{a_n\right\}$ 是等方差数列，则 $\left\{a_{kn}\right\}$（$k\in \mathbb N^*$，$k$ 为常数）也是等方差数列；
④ 若 $\left\{a_n\right\}$ 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为  ．（将所有正确的命题序号填在横线上）		 2022-04-16 21:21:53
7710 59268d228044a0000b68e217 高中 填空题 高中习题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$ a_n =\log_{n+1}{(n+2)}$（$n\in \mathbb N^*$），定义使 $a_1\cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \cdots \cdot a_k$ 为整数的数 $k$（$k\in \mathbb N^*$）叫做企盼数，则区间 $[1,2011]$ 内所有的企盼数的和为 ． 2022-04-16 21:20:53
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