基本解法从基本量入手，以 $\left(a_1,d\right)$ 为桥梁等差数列的首项和公差是确定数列的两个要素，解出了基本量，就等于解出了数列．
设等差数列的公差为 $d$，则$$S_n=na_1+\dfrac 12n(n-1)d,$$分别将 $n=10$ 和 $n=100$ 代入，有$$\begin{cases}10a_1+45d=100,\\100a_1+4950d=10,\end{cases}$$解得$$a_1=\dfrac{1099}{100}\land d=-\dfrac{11}{50},$$从而$$S_{110}=110a_1+\dfrac 12\cdot 110\cdot 109\cdot d=-110.$$优化一从基本解法中可以看到，$a_1$ 和 $d$ 并没有发挥它们作为数列基本量的作用，而仅仅是充当前 $n$ 项公式中的系数，因此可以把解法中“设”的部分优化．设 $S_n=An^2+Bn$，则$$\begin{cases}100A+10B=100,\\10000A+100B=10,\end{cases}$$解得$$A=-\dfrac{11}{100}\land B=\dfrac{111}{10},$$于是$$S_{110}=-\dfrac{11}{100}\cdot 110^2+\dfrac{111}{10}\cdot 110=-110.$$优化二在上面的解法中，我们研究的是一个长达 $110$ 项的序列，注意到 $10$、$100$、$110$ 都是 $10$ 的倍数，于是可以考虑利用等差数列的局部相似性，将相邻的 $10$ 项依次合并简化运算．由于 $S_{10},S_{20}-S_{10},\cdots,S_{100}-S_{90},S_{110}-S_{100}$ 为等差数列，记为 $\{t_n\}$，其前 $n$ 项和为 $T_n$，公差为 $d'$．根据题意，有 $T_1=100$，$T_{10}=10$，欲求 $T_{11}$．此时由$$T_{10}=10T_1+45d'$$解得 $d'=-22$，于是$$T_{11}=11T_1+55d'=-110.$$优化三在基本解法和优化一的运算中，我们第一步都是将方程两边同除以 $n$，事实上，由于 $S_n$ 为等差数列的前 $n$ 项和，于是 $\left\{\dfrac{S_n}n\right\}$ 为等差数列，记为 $\{b_n\}$，则$$b_{10}=10,b_{100}=\dfrac 1{10},$$于是可得$$b_{110}=b_{10}+\dfrac{10}9\cdot\left(b_{100}-b_{10}\right)=-1,$$进而 $S_{110}=-110$．
优化四基本解法和优化一、优化二、优化三的解题策略都是确定可以计算 $S_n$ 的一般的式子中的系数，然后再计算 $S_{110}$ 的值，是典型的从特殊到一般再回到特殊的推理路径，因此运算量都比较大．事实上，如果我们直接着眼于特殊问题的解决，把已知和未知通过数列 $\{a_n\}$ 中的某些特殊项联系起来，可能就可以拨云见日了．
根据已知可得$$\begin{cases}10\left(a_1+a_{10}\right)=200,\\100\left(a_1+a_{100}\right)=20,\end{cases}$$于是$$a_1+a_{10}=20,a_1+a_{100}=\dfrac 15,$$进而\[\begin{split}2S_{110}&=110\left(a_1+a_{110}\right)\\&=110\left[a_1+a_{10}+\dfrac{10}{9}\cdot\left[\left(a_1+a_{100}\right)-\left(a_1+a_{10}\right)\right]\right]\\&=-220,\end{split}\]因此 $S_{110}=-110$．
优化五注意到 $a_1+a_{110}=a_{11}+a_{100}$，于是再引入一个 $a_{11}$ 简化运算．
在优化四中，舍弃 $a_1$ 引入 $a_{11}$，有$$2\left(S_{100}-S_{10}\right)=90\left(a_{11}+a_{100}\right),$$于是可得 $a_{11}+a_{100}=-2$，进而$$2S_{110}=110\left(a_1+a_{110}\right)=110\left(a_{11}+a_{100}\right),$$以下略．