在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，若 $a_n^2-a_{n-1}^2=p$（$n\geqslant 2$，$n\in \mathbb N^*$，$p$ 为常数），则称 $\left\{a_n\right\}$ 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
① 若 $\left\{a_n\right\}$ 是等方差数列，则 $\left\{a_n^2\right\}$ 是等差数列；
② $\left\{\left(-1\right)^n\right\}$ 是等方差数列；
③ 若 $\left\{a_n\right\}$ 是等方差数列，则 $\left\{a_{kn}\right\}$（$k\in \mathbb N^*$，$k$ 为常数）也是等方差数列；
④ 若 $\left\{a_n\right\}$ 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）
① 若 $\left\{a_n\right\}$ 是等方差数列，则 $\left\{a_n^2\right\}$ 是等差数列；
② $\left\{\left(-1\right)^n\right\}$ 是等方差数列；
③ 若 $\left\{a_n\right\}$ 是等方差数列，则 $\left\{a_{kn}\right\}$（$k\in \mathbb N^*$，$k$ 为常数）也是等方差数列；
④ 若 $\left\{a_n\right\}$ 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②③④
【解析】
$\left\{a_n\right\}$ 是“等方差数列”的意思为“平方之后差相等的数列”．
由此，①② 显然成立．
对于 ③，$a_{kn}^2-a_{k(n-1)}^2=kp$，于是命题成立；
对于 ④，对于任意 $n$，$a_n=a_1+(n-1)d$，$a_n^2=a_1^2+(n-1)p$．
于是 $(a_1+nd)^2=a_1^2+np$，即 $(2d-p)n+d^2=0$ 对任意 $n\in \mathbb N^*$ 恒成立．
因此 $d=p=0$，数列 $\left\{a_n\right\}$ 为常数列．
由此，①② 显然成立．
对于 ③，$a_{kn}^2-a_{k(n-1)}^2=kp$，于是命题成立；
对于 ④，对于任意 $n$，$a_n=a_1+(n-1)d$，$a_n^2=a_1^2+(n-1)p$．
于是 $(a_1+nd)^2=a_1^2+np$，即 $(2d-p)n+d^2=0$ 对任意 $n\in \mathbb N^*$ 恒成立．
因此 $d=p=0$，数列 $\left\{a_n\right\}$ 为常数列．
题目
答案
解析
备注
