查看数据源：59113222e020e7000878f559
对于 $n\in \mathbb N^*$，将 $n$ 表示为$$n=a_0\times 2^k+a_1\times 2^{k-1}+a_2\times 2^{k-2}+\cdots+a_{k-1}\times 2^1+a_k\times 2^0,$$当 $i=0$ 时，$a_i=1$；当 $1\leqslant i\leqslant k$ 时，$a_i$ 为 $0$ 或 $1$．记 $I(n)$ 为上述表示式中 $a_i$ 为 $0$ 的个数（例如 $1=1\times 2^0$，$4=1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0$，故 $I(1)=0$，$I(4)=2$），则 $I(12)=$  ；$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=$  ．
【难度】
【出处】
2011年高考湖南卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    数论初步
    >
    进制
    >
    二进制
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的前n项和
【答案】
$2$；$1093$
【解析】
第一空因为$$12=1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0,$$故 $I(12)=2$．
第二空在二进制的 $k(k\geqslant 2)$ 位数中，首位为 $1$，之后的 $k-1$ 位每个数位中的数都可能为 $0$ 或 $1$，所以 $k$ 位数共有 $2^{k-1}$ 个，其中没有 $0$ 的有 $\mathrm C_{k-1}^0$ 个，有 $1$ 个 $0$ 的有 $\mathrm C_{k-1}^1$ 个，有 $2$ 个 $0$ 的有 $\mathrm C_{k-1}^2$ 个，$\cdots$，有 $m$ 个 $0$ 的有 $\mathrm C_{k-1}^m$ 个，$\cdots$，故对所有二进制为 $k$ 位数的数 $n$，贡献的 $2^{I(n)}$ 的和为$$\mathrm C_{k-1}^0\cdot 2^0+\mathrm C_{k-1}^1 \cdot 2^1+\mathrm C_{k-1}^2\cdot 2^2+\cdots+\mathrm C_{k-1}^{k-1}\cdot 2^{k-1}=(1+2)^{k-1}=3^{k-1}.$$注意到 $127=2^7-1=(1111111)_7$ 恰好为二进制中的最大的 $7$ 位数，所以$$\sum\limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=\sum\limits_{k=1}^7{3^{k-1}}=1093.$$
题目 答案 解析 备注
0.184985s