数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}\sqrt{\dfrac 1{a_n^2}+4}=1$，记 $S_n=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$，若 $S_{2n+1}-S_n\leqslant \dfrac{m}{30}$ 对任意 $n\in\mathbb N^*$ 恒成立，则正整数 $m$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
首先根据题意$$\dfrac{1}{a_{n+1}^2}=\dfrac{1}{a_n^2}+4,$$于是可得$$a_n^2=\dfrac{1}{4n-3},n\in\mathbb N^*.$$进而$$S_{2n+1}-S_n=a_{n+1}^2+a_{n+2}^2+\cdots+a_{2n+1}^2=\dfrac{1}{4n+1}+\dfrac{1}{4n+5}+\cdots+\dfrac{1}{8n+1},$$为了探寻其上界，先研究 $T_n=S_{2n+1}-S_n$ 的单调性：$$\Delta T_n=T_n-T_{n-1}=\dfrac{1}{8n+1}+\dfrac{1}{8n-3}-\dfrac{1}{4n-3}<0,$$其中 $n\geqslant 2,n\in\mathbb N^*$．因此其上确界为$$T_1=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{9},$$从而不难求得正整数 $m$ 的最小值为 $10$．
题目
答案
解析
备注
