设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，其前 $n$ 项的积为 $T_n$，并且满足条件 $a_1>1$，$a_{99}\cdot a_{100}-1>0$，$\dfrac {a_{99}-1}{a_{100}-1}<0$．给出下列结论，其中正确的结论有 ．
① $0<q<1$；
② $a_{99}\cdot a_{101}-1>0$；
③ $T_{100}$ 的值是 $T_n$ 中最大的；
④ 使 $T_n>1$ 成立的最大自然数 $n$ 等于 $198$．
① $0<q<1$；
② $a_{99}\cdot a_{101}-1>0$；
③ $T_{100}$ 的值是 $T_n$ 中最大的；
④ 使 $T_n>1$ 成立的最大自然数 $n$ 等于 $198$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①④
【解析】
根据待判断的结论知本题关键是分析数列的各项与 $1$ 的大小关系，为此先探索公比 $q$ 的取值范围．
当 $q<0$ 时，数列是正负交替的，显然不满足条件，所以有$$q>0.$$由条件 $a_{99}a_{100}-1>0$，$\dfrac {a_{99}-1}{a_{100}-1}<0$ 知，$a_{99}$ 与 $a_{100}$ 在 $1$ 的两边，而 $a_1>1$，故$$0<q<1\land a_{99}>1\land a_{100}<1.$$于是 ① 正确，并且数列 $\{a_n\}$ 是递减数列，示意图如下：
于是$$a_{99}\cdot a_{101}-1=a_{100}^2-1<0.$$② 错误．下面考虑 $T_n$：
$T_n$ 中最大的项即所有大于等于 $1$ 的项的乘积，为 $T_{99}$，③ 错误；又因为$$T_{198}=(a_1a_{198})^{99}=(a_{99}a_{100})^{99}>1,$$而$$T_{199}=a_{100}^{199}<1,$$故使得 $T_n>1$ 成立的最大自然数为 $198$，④ 正确．
综上，正确的结论有 ①④．
事实上，我们可以定义$$a_{k+\frac 12}=\sqrt{a_ka_{k+1}},$$比如 $a_{1}a_{2}=a_{1.5}^2$，则由等比数列的性质知$$T_n=a_{\frac {n+1}{2}}^n,$$从而我们只需要找到 $a_k$（其中 $2k\in{\mathbb N^*}$）从大于 $1$ 变到小于 $1$ 的临界项即可，由题意知$$a_{99.5}>1\land a_{100}<1,$$故 $T_{198}$ 是 $T_n$ 中最后一个大于 $1$ 的项．
当 $q<0$ 时，数列是正负交替的，显然不满足条件，所以有$$q>0.$$由条件 $a_{99}a_{100}-1>0$，$\dfrac {a_{99}-1}{a_{100}-1}<0$ 知，$a_{99}$ 与 $a_{100}$ 在 $1$ 的两边，而 $a_1>1$，故$$0<q<1\land a_{99}>1\land a_{100}<1.$$于是 ① 正确，并且数列 $\{a_n\}$ 是递减数列，示意图如下：
于是$$a_{99}\cdot a_{101}-1=a_{100}^2-1<0.$$② 错误．下面考虑 $T_n$：$T_n$ 中最大的项即所有大于等于 $1$ 的项的乘积，为 $T_{99}$，③ 错误；又因为$$T_{198}=(a_1a_{198})^{99}=(a_{99}a_{100})^{99}>1,$$而$$T_{199}=a_{100}^{199}<1,$$故使得 $T_n>1$ 成立的最大自然数为 $198$，④ 正确．
综上，正确的结论有 ①④．
事实上，我们可以定义$$a_{k+\frac 12}=\sqrt{a_ka_{k+1}},$$比如 $a_{1}a_{2}=a_{1.5}^2$，则由等比数列的性质知$$T_n=a_{\frac {n+1}{2}}^n,$$从而我们只需要找到 $a_k$（其中 $2k\in{\mathbb N^*}$）从大于 $1$ 变到小于 $1$ 的临界项即可，由题意知$$a_{99.5}>1\land a_{100}<1,$$故 $T_{198}$ 是 $T_n$ 中最后一个大于 $1$ 的项．
题目
答案
解析
备注
