设 $S_n$ 是各项均为非零实数的等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若对于给定的正整数 $n$（$n>1$）和正数 $M$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1^2+a_{n+1}^2=M$，则 $S_n$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}}$
【解析】
由于$$S_n=\dfrac n2\left(a_1+a_n\right),$$于是联想到柯西不等式．因此需要用 $a_1,a_{n+1}$ 表示 $a_1+a_n$．
设 $a_1+a_n=\alpha a_1+\beta a_{n+1}$，则$$2a_1+(n-1)d=(\alpha +\beta)a_1+\left(\beta n\right)d,$$因此解得$$\begin{cases} \alpha=\dfrac{n+1}n,\\ \beta=\dfrac{n-1}n,\end{cases}$$因此\[\begin{split} S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}2\\&=\dfrac{(n+1)a_1+(n-1)a_{n+1}}2 \\ &\leqslant\dfrac{\sqrt{(n+1)^2+(n-1)^2}\cdot\sqrt{a_1^2+a_{n+1}^2}}2 \\ &= \sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}},\end{split}\]所以 $S_n$ 的最大值为 $\sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}}$．
设 $a_1+a_n=\alpha a_1+\beta a_{n+1}$，则$$2a_1+(n-1)d=(\alpha +\beta)a_1+\left(\beta n\right)d,$$因此解得$$\begin{cases} \alpha=\dfrac{n+1}n,\\ \beta=\dfrac{n-1}n,\end{cases}$$因此\[\begin{split} S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}2\\&=\dfrac{(n+1)a_1+(n-1)a_{n+1}}2 \\ &\leqslant\dfrac{\sqrt{(n+1)^2+(n-1)^2}\cdot\sqrt{a_1^2+a_{n+1}^2}}2 \\ &= \sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}},\end{split}\]所以 $S_n$ 的最大值为 $\sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}}$．
题目
答案
解析
备注
