设 $a,b\in\mathbb{R}$，关于 $x$ 的方程 $(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)=0$ 的四个实根构成以 $q$ 为公比的等比数列，若 $q\in\left[\dfrac 13,2\right ]$，则 $ab$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[4,\dfrac{112}{9}\right]$
【解析】
设等比数列为 $m,mq,mq^2,mq^3$，从而有$$m^2q^3=1.$$由题意知\[\begin{split}ab&=(m+mq^3)(mq+mq^2)=m^2q(1+q)(1+q^3)\\&=q+\dfrac 1q+q^2+\dfrac{1}{q^2}=\left(q+\dfrac 1q\right )^2+\left(q+\dfrac 1q\right)-2.\end{split}\]记 $t=q+\dfrac 1q$，则由 $q\in\left[\dfrac 13,2\right ]$ 知 $t\in\left[2,\dfrac {10}{3}\right]$．
因为 $ab=t^2+t-2$ 在 $t\in\left[2,\dfrac {10}{3}\right ]$ 上单调递增，所以 $ab\in\left[4,\dfrac{112}{9}\right]$．
因为 $ab=t^2+t-2$ 在 $t\in\left[2,\dfrac {10}{3}\right ]$ 上单调递增，所以 $ab\in\left[4,\dfrac{112}{9}\right]$．
题目
答案
解析
备注
