已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$ a_n =\log_{n+1}{(n+2)}$（$n\in \mathbb N^*$），定义使 $a_1\cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \cdots \cdot a_k$ 为整数的数 $k$（$k\in \mathbb N^*$）叫做企盼数，则区间 $[1,2011]$ 内所有的企盼数的和为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2026$
【解析】
由 $ a_n =\log_{n+1}{(n+2)}$ 得，$$a_1\cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \cdots \cdot a_k=\log_{2}{(k+2)}.$$因此所谓企盼数就是形如 $2^n-2$ 的整数．
在区间 $[1,2011]$ 内的企盼数为 $2^2-2$，$2^3-2$，$\cdots$，$2^{10}-2$．
它们的和为$$\dfrac {2^2-2^{10}\cdot 2}{1-2}-2\cdot 9=2048-4-18=2026.$$
在区间 $[1,2011]$ 内的企盼数为 $2^2-2$，$2^3-2$，$\cdots$，$2^{10}-2$．
它们的和为$$\dfrac {2^2-2^{10}\cdot 2}{1-2}-2\cdot 9=2048-4-18=2026.$$
题目
答案
解析
备注
