已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=\left(\sqrt 2+1\right)^n-\left(\sqrt 2-1\right)^n$（$n\in\mathbb N^*$），则 $\left[a_{2017}\right]$ 的个位数字是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
根据题意，有 $a_1=2$，$a_2=4\sqrt 2$，$a_3=14$，且\[a_{2n+1}=\left(\sqrt 2+1\right)\cdot \left(3+2\sqrt 2\right)^n-\left(\sqrt 2-1\right)\cdot \left(3-2\sqrt 2\right)^n,\]因为 $3+2\sqrt 2$ 与 $3-2\sqrt 2$ 是方程 $x^2-6x+1=0$ 的根，由特征根法知\[a_{2n+3}=6a_{2n+1}-a_{2n-1},\]于是数列 $\{a_n\}$ 中的奇数项的尾数分别为\[\underbrace{2,4,2,8,6,8},\underbrace{2,4,2,8,6,8},\cdots,\]于是\[\left[a_{2017}\right]=\left[a_1\right]=2.\]
题目
答案
解析
备注
