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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19988 5cda5947210b280220ed2d21 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_n=2^n,n\in\mathbf N^{\ast}$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1a_n+b_2a_{n-1}+\cdots+b_na_1=2^n-\dfrac{n}{2}-1$，求数列 $\{a_n\cdot b_n\}$ 的前 $n$ 项和． 2022-04-17 19:34:55
19967 5ce3b780210b280220ed320a 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3,a_{n+1}=\dfrac{3a_n-4}{9a_n+15}(n\in\mathbf N^{\ast})$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$． 2022-04-17 19:21:55
19963 5ce4bb3c210b280220ed326e 高中 解答题 自招竞赛 已知实数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$ 满足：对任意正整数 $n$，有 $a_n(2S_n-a_n)=1$，其中 $S_n$ 表示数列的前 $n$ 项和．证明： 2022-04-17 19:18:55
18717 5c6f5a33210b280150527387 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${{A}_{k}}=\dfrac{k\left( k-1 \right)}{2}\cos \dfrac{k\left( k-1 \right)\pi}{2}$，试求 $\left| {{A}_{19}}+{{A}_{20}}+\cdots +{{A}_{98}} \right|$． 2022-04-17 19:58:43
18211 5a40a625fab70800079179ad 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，$a_2=6$，且数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列． 2022-04-17 19:20:39
18198 590adc2c6cddca00078f39e5 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1\in\mathbb N^{\ast}$，$a_1\leqslant 36$，且 $a_{n+1}=\begin{cases}2a_n,&a_n\leqslant 18,\\2a_n-36,&a_n>18.\end{cases}$（$n=1,2,\cdots$）．记集合 $M=\left\{a_n\left|n\in\mathbb N^{\ast}\right.\right\}$． 2022-04-17 19:13:39
17420 590976fe39f91d000a7e44e9 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_0=1$，$b_0=0$，且$$\begin{cases} a_{n+1}=7a_n+6b_n-3,\\ b_{n+1}=8a_n+7b_n-4,\end{cases}$$其中 $n=0,1,2,\cdots $．求证：$a_n$ 是完全平方数． 2022-04-17 19:09:32
17320 5cbd237f210b280220ed2273 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，且满足 $3a_5=8a_{12}>0$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=a_n\cdot a_n+1\cdot a_n+2(n\in\mathbf N^{\ast})$，$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_n$．问：当 $n$ 为何值时，$S_n$ 取得最大值，说明理由． 2022-04-17 19:13:31
17273 598914055ed01a000ad799f0 高中 解答题 自招竞赛 （15分）已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1}=1$，且 $a_{n+1}\cdot a_{n}=a_{n}-2a_{n+1}$． 2022-04-17 19:49:30
17269 5989177e5ed01a000ba75ca4 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n}=\dfrac{(1+a_{n-1})^{2}}{a_{n-2}},n\geqslant 3$． 2022-04-17 19:47:30
17177 5e61b2b5210b280d36111791 高中 解答题 高考真题 已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，$a_1=2,a_3=2a_2+16$．
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\log_2a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．		 2022-04-17 19:54:29
17170 5e5f1bcd210b280d3782247e 高中 解答题 高考真题 设 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_9=-a_5$．
（1）若 $a_3=4$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）若 $a-1>0$，求使得 $S_n\geqslant a_n$ 的 $n$ 的取值范围．		 2022-04-17 19:50:29
17161 5e5c7a98210b280d37822404 高中 解答题 高考真题 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列，公比大于 $0$，已知 $a_1=b_1=3,b_2=a_3,b_3=4a_2+3$．
（I）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\{c_n\}$ 满足 $c_n=\begin{cases}1,&&n\text{为奇数}\\\dfrac{b_n}{2},&&n为\text{为偶数}\end{cases}$．求 $a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}(n\in\mathbb{n}^{\ast})$．		 2022-04-17 19:46:29
17148 5e548a36210b280d361114d0 高中 解答题 高考真题 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n \}$ 是等比数列．已知 $a_1=4,b_1=6,b_2=2a_2-2,b_3=2a_3+4$．
（I）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\{c_n\}$ 满足 $c_1=1,c_n=\begin{cases}1,&&2^k<n<2^{k+1}\\b_k,&&n=2^k\end{cases}$ 其中 $k\in\mathbb{N}^{\ast}$．
（i）求数列 $\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\}$ 的通项公式；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{2^n}a_ic_i(n\in\mathbb{N}^{\ast})$．		 2022-04-17 19:39:29
17145 5e4f4de4210b280d3782226c 高中 解答题 高考真题 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$a_1=-10$，且 $a_2+10,a_3+8,a_4+6$ 成等比数列．
（I）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（II）记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求 $S_n$ 的最小值．		 2022-04-17 19:37:29
17135 5e4caac7210b280d378221a1 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\{a_n\}$，从中选取第 $i_1$ 项，第 $i_2$ 项，$\cdots$，第 $i_m$ 项（$i_1<i_2<\cdots<i_m$）．若 $a_{i_1}<a_{i_2}<\cdots<a_{i_m}$，则称新数列 $a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_m}$ 为 $\{a_n\}$ 的长度为 $m$ 的递增子列．规定：数列 $\{a_n\}$ 的任意一项都是 $\{a_n\}$ 的长度为 $1$ 的递增子列．
（I）写出数列 $1,8,3,7,5,6,9$ 的一个长度为 $4$ 的递增子列；
（II）已知数列 $\{a_n\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a_{m_0}$，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a_{n_0}$．若 $p<q$，求证：$a_{m_0}<a_{n_0}$；
（III）设无穷数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若 $\{a_n\}$ 的长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2s-1$，且长度为 $s$ 末项为 $2s-1$ 的递增子列恰有 $2^{s-1}$ 个（$s=1,2,\cdots$），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．		 2022-04-17 19:32:29
17128 5e4a03cf210b280d3782208e 高中 解答题 高考真题 定义首项为 $1$ 且公比为正数的等比数列为“$M-$ 数列”．
（1）已知等比数列 $\{a_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$ 满足：$a_2a_4=a_5,a_3-4a_2+4a_4=0$，求证：数列 $\{a_n\}$ 为“$M-$ 数列”；
（2）已知数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_1=1,\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{2}{b_n}-\dfrac{2}{b_{n+1}}$，其中 $S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．
① 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；
② 设 $m$ 为正整数，若存在“$M－$ 数列”$\{c_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$，对任意正整数 $k$，当 $k\leqslant m$ 时，都有 $c_k\leqslant b_k\leqslant c_{k+1}$ 成立，求 $m$ 的最大值．		 2022-04-17 19:29:29
17117 5e44be7f210b280d361110c0 高中 解答题 高考真题 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i(i=0,1,\cdots,8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0,p_8=1,p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}(i=1,2,\cdots,7)$，其中 $a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)$．假设 $\alpha=0.5,\beta=0.8$．
（i）证明：$\{p_{i+1}-p_i\}(i=0,1,2,\cdots,7)$ 为等比数列；
（ii）求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性．		 2022-04-17 19:23:29
17112 5e426b43210b280d36111023 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足 $a_1=1,b_1=0,4a_{n+1}=3a_n-b_n+4,4b_{n+1}=3b_n-a_n-4$．
（1）证明：$\{a_n+b_n\}$ 是等比数列，$\{a_n–b_n\}$ 是等差数列；
（2）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式．		 2022-04-17 19:20:29
17097 5d6f4e3a210b28021fc7a8ed 高中 解答题 高考真题 设 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，公比大于 $0$，其前 $n$ 项和为 $S_n(n\in\mathbb{N}^{\ast})$，$\left\{b_n\right\}$ 是等差数列，已知 $a_1=1$，$a_3=a_2+2$，$a_4=b_3+b_5$，$a_5=b_4+2b_6$． 2022-04-17 19:11:29
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