数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，且满足 $3a_5=8a_{12}>0$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=a_n\cdot a_n+1\cdot a_n+2(n\in\mathbf N^{\ast})$，$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_n$．问：当 $n$ 为何值时，$S_n$ 取得最大值，说明理由．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$n=16$
【解析】
因为 $3a_5=8a_12>0$，所以 $3a_5=8(a_5+7d)$．解得 $a_5=-\dfrac{56}{5}d>0$．所以 $d<0,a_1=-\dfrac{76}{5}d$．故 $\{a_n\}$ 是首项为正数的递减数列．由 $\begin{cases}
a_n\geqslant 0\\
a_{n+1}\leqslant 0\\
\end{cases}$ 即 $\begin{cases}-\dfrac{76}{5}d+(n-1)d\geqslant 0\\
-\dfrac{76}{5}d+nd\leqslant 0\\
\end{cases}$ 解得 $15\dfrac{1}{5}\leqslant n\leqslant 16\dfrac{1}{5}$．即 $a_{16}>0,a_{17}<0$，所以 $a_{1}>a_{2}>a_{3}>\cdots>a_{16}>0>a_{17}>a_{18}>\cdots$，所以 $b_{1}>b_{2}>b_{3}>\cdots>b_{14}>0>b_{17}>b_{18}>\cdots$，而 $b_{15}=a_{15}a_{16}a_{17}<0,b_{16}=a_{16}a_{17}a_{18}>0$，故 $S_{14}>S_{13}>\cdots>S_{1},S_{14}>S_{15},S_{15}<S_{16},S_{16}>S_{17}>S_{18}>\cdots$．又 $S_{16}-S_{14}=b_{15}+b_{16}=a_{16}a_{17}(a_{15}+a_{18})=a_{16}a_{17}(-\dfrac{6}{5}d+\dfrac{9}{5}d)=\dfrac{3}{5}da_{16}a_{17}>0$．所以 $S_{n}$ 中 $S_{16}$ 最大，即 $n=16$ 时，$S_{n}$ 取得最大值．
a_n\geqslant 0\\
a_{n+1}\leqslant 0\\
\end{cases}$ 即 $\begin{cases}-\dfrac{76}{5}d+(n-1)d\geqslant 0\\
-\dfrac{76}{5}d+nd\leqslant 0\\
\end{cases}$ 解得 $15\dfrac{1}{5}\leqslant n\leqslant 16\dfrac{1}{5}$．即 $a_{16}>0,a_{17}<0$，所以 $a_{1}>a_{2}>a_{3}>\cdots>a_{16}>0>a_{17}>a_{18}>\cdots$，所以 $b_{1}>b_{2}>b_{3}>\cdots>b_{14}>0>b_{17}>b_{18}>\cdots$，而 $b_{15}=a_{15}a_{16}a_{17}<0,b_{16}=a_{16}a_{17}a_{18}>0$，故 $S_{14}>S_{13}>\cdots>S_{1},S_{14}>S_{15},S_{15}<S_{16},S_{16}>S_{17}>S_{18}>\cdots$．又 $S_{16}-S_{14}=b_{15}+b_{16}=a_{16}a_{17}(a_{15}+a_{18})=a_{16}a_{17}(-\dfrac{6}{5}d+\dfrac{9}{5}d)=\dfrac{3}{5}da_{16}a_{17}>0$．所以 $S_{n}$ 中 $S_{16}$ 最大，即 $n=16$ 时，$S_{n}$ 取得最大值．
答案
解析
备注
