设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列，公比大于 $0$，已知 $a_1=b_1=3,b_2=a_3,b_3=4a_2+3$．
（I）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\{c_n\}$ 满足 $c_n=\begin{cases}1,&&n\text{为奇数}\\\dfrac{b_n}{2},&&n为\text{为偶数}\end{cases}$．求 $a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}(n\in\mathbb{n}^{\ast})$．
（I）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\{c_n\}$ 满足 $c_n=\begin{cases}1,&&n\text{为奇数}\\\dfrac{b_n}{2},&&n为\text{为偶数}\end{cases}$．求 $a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}(n\in\mathbb{n}^{\ast})$．
【难度】
【出处】
2019年高考天津卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$．依题意，得 $\begin{cases}3q=3+2d\\3q^2=15+4d\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}d=3\\q=3\end{cases}$ 故 $a_n=3+3(n-1)=3n,b_n=3\times 3^{n-1}=3^n$．
所以，$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3n$，$\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=3^n$．
（II）
$\begin{aligned}&a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}\\&=(a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2n-1})+(a_2b_1+a_4b_2+a_6b_3+\cdots+a_{2n}b_n)\\&=\left[n\times 3+\dfrac{n(n-1)}{2}\times 6\right]+(6\times 3^1+12\times 3^2+18\times 3^3+\cdots+6n\times 3^n)\\&=3n^2+6(1\times 3^1+2\times 3^2+\cdots+n\times 3^n)\end{aligned}$
记 $T_n=1\times 3^1+2\times 3^2+\cdots+n\times 3^n$，①
则 $3T_n=1\times 3^2+2\times 3^3+\cdots+n\times 3^{n+1}$，②
② - ① 得，$2T_n=-3-3^2-3^3-\cdots-3^n+n\times 3^{n+1}=-\dfrac{3(1-3^n)}{1-3}+n\times 3^{n+1}=\dfrac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2}$．
所以，$a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}=3n^2+6T_n=3n^2+3\times \dfrac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2}=\dfrac{(2n-1)3^{n+2}+6n^2+9}{2}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$．
所以，$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3n$，$\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=3^n$．
（II）
$\begin{aligned}&a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}\\&=(a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2n-1})+(a_2b_1+a_4b_2+a_6b_3+\cdots+a_{2n}b_n)\\&=\left[n\times 3+\dfrac{n(n-1)}{2}\times 6\right]+(6\times 3^1+12\times 3^2+18\times 3^3+\cdots+6n\times 3^n)\\&=3n^2+6(1\times 3^1+2\times 3^2+\cdots+n\times 3^n)\end{aligned}$
记 $T_n=1\times 3^1+2\times 3^2+\cdots+n\times 3^n$，①
则 $3T_n=1\times 3^2+2\times 3^3+\cdots+n\times 3^{n+1}$，②
② - ① 得，$2T_n=-3-3^2-3^3-\cdots-3^n+n\times 3^{n+1}=-\dfrac{3(1-3^n)}{1-3}+n\times 3^{n+1}=\dfrac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2}$．
所以，$a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}=3n^2+6T_n=3n^2+3\times \dfrac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2}=\dfrac{(2n-1)3^{n+2}+6n^2+9}{2}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$．
答案
解析
备注
