（15分）已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1}=1$，且 $a_{n+1}\cdot a_{n}=a_{n}-2a_{n+1}$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；标注答案$a_{n}=\dfrac{1}{2^{n}-1}$解析由 $a_{n+1}\cdot a_{n}=a_{n}+2a_{n+1}$ 得 $\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{2}{a_{n}}+1$．所以\[\left(\dfrac{1}{a_{n+1}}+1\right)=2\left(\dfrac{1}{a_{n}}+1\right).\]所以数列 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}+1\right\}$ 是一个以 $2$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列．$\dfrac{1}{a_{n}}+1=2\times 2^{n-1}=2^{n}$，即 $a_{n}=\dfrac{1}{2^{n}-1}$．
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求证：$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}<2$．标注答案略解析当 $n>1$ 时，$2^{n}-1>2^{n-1}$ 成立，所以\[\dfrac{1}{2^{n}-1}<\dfrac{1}{2^{n-1}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}.\]所以\[\begin{split}a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}&<1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\\&=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{2}}\\&=2\left[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right]\\&<2.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
