已知 ${{A}_{k}}=\dfrac{k\left( k-1 \right)}{2}\cos \dfrac{k\left( k-1 \right)\pi}{2}$，试求 $\left| {{A}_{19}}+{{A}_{20}}+\cdots +{{A}_{98}} \right|$．
【难度】
【出处】
1998年第16届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
40
【解析】
注意到当 $k=4m$ 或 $4m+1$ 时 $\frac{k\left( k-1 \right)}{2}$ 为偶数，其他情况均为奇数，由此导出
${{A}_{4m-1}}+{{A}_{4m}}=-\frac{\left(4m-1 \right)\left( 4m-2 \right)}{2}+\frac{4m\left( 4m-1 \right)}{2}=4m-1$，
${{A}_{4m+1}}+{{A}_{4m+2}}=\frac{\left(4m+1 \right)4m}{2}-\frac{\left( 4m+2 \right)\left( 4m+1 \right)}{2}=-4m-1$．
因为 ${{A}_{4m-1}}+{{A}_{4m}}+{{A}_{4m+1}}+{{A}_{4m+2}}=-2$，从而 ${{A}_{19}}+{{A}_{20}}+{{A}_{21}}+\cdots+{{A}_{98}}=20\times \left( -2 \right)=-40$．
故 $\left|{{A}_{19}}+{{A}_{20}}+{{A}_{21}}+\cdots +{{A}_{98}} \right|=40$．
${{A}_{4m-1}}+{{A}_{4m}}=-\frac{\left(4m-1 \right)\left( 4m-2 \right)}{2}+\frac{4m\left( 4m-1 \right)}{2}=4m-1$，
${{A}_{4m+1}}+{{A}_{4m+2}}=\frac{\left(4m+1 \right)4m}{2}-\frac{\left( 4m+2 \right)\left( 4m+1 \right)}{2}=-4m-1$．
因为 ${{A}_{4m-1}}+{{A}_{4m}}+{{A}_{4m+1}}+{{A}_{4m+2}}=-2$，从而 ${{A}_{19}}+{{A}_{20}}+{{A}_{21}}+\cdots+{{A}_{98}}=20\times \left( -2 \right)=-40$．
故 $\left|{{A}_{19}}+{{A}_{20}}+{{A}_{21}}+\cdots +{{A}_{98}} \right|=40$．
答案
解析
备注
