设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n \}$ 是等比数列．已知 $a_1=4,b_1=6,b_2=2a_2-2,b_3=2a_3+4$．
（I）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\{c_n\}$ 满足 $c_1=1,c_n=\begin{cases}1,&&2^k<n<2^{k+1}\\b_k,&&n=2^k\end{cases}$ 其中 $k\in\mathbb{N}^{\ast}$．
（i）求数列 $\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\}$ 的通项公式；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{2^n}a_ic_i(n\in\mathbb{N}^{\ast})$．
（I）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\{c_n\}$ 满足 $c_1=1,c_n=\begin{cases}1,&&2^k<n<2^{k+1}\\b_k,&&n=2^k\end{cases}$ 其中 $k\in\mathbb{N}^{\ast}$．
（i）求数列 $\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\}$ 的通项公式；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{2^n}a_ic_i(n\in\mathbb{N}^{\ast})$．
【难度】
【出处】
2019年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$．依题意得 $\begin{cases}6q=6+2d\\6q^2=12+4d\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}d=3\\q=2\end{cases}$ 故 $a_n=4+(n-1)\times 3=3n+1,b_n=6\times 2^{n-1}=3\times 2^{n}$．
所以，$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3n+1$，$\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=3\times 2^n$．
（II）（i）$a_{2^n}(c_{2^n}-1)=a_{2^n}(b_n-1)=(3\times 2^n+1)(3\times 2^n-1)=9\times 4^n-1$．
所以，数列 $\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\}$ 的通项公式为 $a_{2^n}(c_{2^n}-1)=9\times 4^n-1$．
（ii）
$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{2^n}a_ic_i&=\sum_{i=1}^{2^n}[a_i+a_i(c_i-1)]=\sum_{i=1}^{2^n}a_i+\sum_{i=1}^na_{2^i}(c_{2^i}-1)\\&=\left(2^n\times 4+\dfrac{2^n(2^n-1)}{2}\times 3\right)+\sum_{i=1}^n(9\times 4^i-1)\\&=(3\times 2^{2n-1}+5\times 2^{n-1})+9\times\dfrac{4(1-4^n)}{1-4}-n\\&=27\times 2^{2n-1}+5\times 2^{n-1}-n-12(n\in\mathbb{N}^{\ast})\end{aligned}$
所以，$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3n+1$，$\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=3\times 2^n$．
（II）（i）$a_{2^n}(c_{2^n}-1)=a_{2^n}(b_n-1)=(3\times 2^n+1)(3\times 2^n-1)=9\times 4^n-1$．
所以，数列 $\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\}$ 的通项公式为 $a_{2^n}(c_{2^n}-1)=9\times 4^n-1$．
（ii）
$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{2^n}a_ic_i&=\sum_{i=1}^{2^n}[a_i+a_i(c_i-1)]=\sum_{i=1}^{2^n}a_i+\sum_{i=1}^na_{2^i}(c_{2^i}-1)\\&=\left(2^n\times 4+\dfrac{2^n(2^n-1)}{2}\times 3\right)+\sum_{i=1}^n(9\times 4^i-1)\\&=(3\times 2^{2n-1}+5\times 2^{n-1})+9\times\dfrac{4(1-4^n)}{1-4}-n\\&=27\times 2^{2n-1}+5\times 2^{n-1}-n-12(n\in\mathbb{N}^{\ast})\end{aligned}$
答案
解析
备注
