已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足 $a_1=1,b_1=0,4a_{n+1}=3a_n-b_n+4,4b_{n+1}=3b_n-a_n-4$．
（1）证明：$\{a_n+b_n\}$ 是等比数列，$\{a_n–b_n\}$ 是等差数列；
（2）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式．
（1）证明：$\{a_n+b_n\}$ 是等比数列，$\{a_n–b_n\}$ 是等差数列；
（2）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2019年高考全国II卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由题设得 $4(a_{n+1}+b_{n+1})=2(a_n+b_n)$，即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)$．
又因为 $a_1+b_1=1$，所以 $\{a_n+b_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $\dfrac{1}{2}$ 的等比数列．
由题设得 $4(a_{n+1}-b_{n+1})=4(a_n-b_n)+8$，
即 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_n+b_n+2$．
又因为 $a_1–b_1=1$，所以 $\{a_n-b_n\}$ 是首项为 $1$，公差为 $2$ 的等差数列．
（2）由（1）知，$a_n+b_n=\dfrac{1}{2^{n-1}},a_n-b_n=2n-1$．所以
$a_n=\dfrac{1}{2}[(a_n+b_n)+(a_n-b_n)]=\dfrac{1}{2^n}+n-\dfrac{1}{2},b_n=\dfrac{1}{2}[(a_n+b_n)-(a_n-b_n)]=\dfrac{1}{2^n}-n+\dfrac{1}{2}$．
又因为 $a_1+b_1=1$，所以 $\{a_n+b_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $\dfrac{1}{2}$ 的等比数列．
由题设得 $4(a_{n+1}-b_{n+1})=4(a_n-b_n)+8$，
即 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_n+b_n+2$．
又因为 $a_1–b_1=1$，所以 $\{a_n-b_n\}$ 是首项为 $1$，公差为 $2$ 的等差数列．
（2）由（1）知，$a_n+b_n=\dfrac{1}{2^{n-1}},a_n-b_n=2n-1$．所以
$a_n=\dfrac{1}{2}[(a_n+b_n)+(a_n-b_n)]=\dfrac{1}{2^n}+n-\dfrac{1}{2},b_n=\dfrac{1}{2}[(a_n+b_n)-(a_n-b_n)]=\dfrac{1}{2^n}-n+\dfrac{1}{2}$．
答案
解析
备注
