定义首项为 $1$ 且公比为正数的等比数列为“$M-$ 数列”．
（1）已知等比数列 $\{a_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$ 满足：$a_2a_4=a_5,a_3-4a_2+4a_4=0$，求证：数列 $\{a_n\}$ 为“$M-$ 数列”；
（2）已知数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_1=1,\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{2}{b_n}-\dfrac{2}{b_{n+1}}$，其中 $S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．
① 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；
② 设 $m$ 为正整数，若存在“$M－$ 数列”$\{c_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$，对任意正整数 $k$，当 $k\leqslant m$ 时，都有 $c_k\leqslant b_k\leqslant c_{k+1}$ 成立，求 $m$ 的最大值．
（1）已知等比数列 $\{a_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$ 满足：$a_2a_4=a_5,a_3-4a_2+4a_4=0$，求证：数列 $\{a_n\}$ 为“$M-$ 数列”；
（2）已知数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_1=1,\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{2}{b_n}-\dfrac{2}{b_{n+1}}$，其中 $S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．
① 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；
② 设 $m$ 为正整数，若存在“$M－$ 数列”$\{c_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$，对任意正整数 $k$，当 $k\leqslant m$ 时，都有 $c_k\leqslant b_k\leqslant c_{k+1}$ 成立，求 $m$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2019年高考江苏卷
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，所以 $a_1\ne 0,q\ne 0$．
由 $\begin{cases}a_2a_4=a_5\\a_3-4a_2+4a-1=0\end{cases}$，得 $\begin{cases}a_1^2q^4=a_1q^4\\a_1q^2-4a_1q+4a_1=0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a_1=1\\q=2\end{cases}$．
因此数列 $\{a_n\}$ 为“$M—$ 数列”．
（2）① 因为 $\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{2}{b_n}-\dfrac{2}{b_{n+1}}$，所以 $b_n\ne 0$．
由 $b_1=1,S_1=b_1$，得 $\dfrac{1}{1}=\dfrac{2}{1}-\dfrac{2}{b_2}$，则 $b_2=2$．
由 $\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{2}{b_n}-\dfrac{2}{b_{n+1}}$，得 $S_n=\dfrac{b_nb_{n+1}}{2(b_{n+1}-b_n)}$，
当 $n\geqslant 2$ 时，由 $b_n=S_n-S_{n-1}$，得 $b_n=\dfrac{b_nb_{n+1}}{2(b_{n+1}-b_n)}-\dfrac{b_{n-1}b_n}{2(b_n-b_{n-1})}$，
整理得 $b_{n+1}+b_{n-1}=2b_n$．
所以数列 $\{b_n\}$ 是首项和公差均为 $1$ 的等差数列．
因此，数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=n(n\in \mathbb{N}^{\ast})$．
② 由 ① 知，$b_k=k,k\in\mathbb{N}^{\ast}$．
因为数列 $\{c_n\}$ 为“$M–$ 数列”，设公比为 $q$，所以 $c_1=1,q>0$．
因为 $c_k\leqslant b_k\leqslant c_{k+1}$，所以 $q^{k-1}\leqslant k\leqslant q^k$，其中 $k=1,2,3,\cdots,m$．
当 $k=1$ 时，有 $q\geqslant 1$；
当 $k=2,3,\cdots,m$ 时，有 $\dfrac{\ln k}{k}\leqslant \ln q\leqslant\dfrac{\ln k}{k-1}$．
设 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}(x>1)$，则 $f^\prime (x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$．
令 $f^\prime(x)$，得 $x=e$．列表如下：
$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&\left(1,e\right)&e&\left(e,+\infty\right)\\\hline f^\prime(x)&+&0&-\\\hline f(x)&\nearrow&\text{极大值}&\searrow\\\hline\end{array}$
因为 $\dfrac{\ln 2}{2}=\dfrac{\ln 8}{6}<\dfrac{\ln 9}{6}=\dfrac{\ln 3}{3}$，所以 $f(k)_{\max}=f(3)=\dfrac{\ln 3}{3}$．
取 $q=\sqrt[3]{3}$，当 $k=1,2,3,4,5$ 时，$\dfrac{\ln k}{k}\leqslant \ln q$，即 $k\leqslant q^k$，
经检验知 $q^{k-1}\leqslant k$ 也成立．
因此所求 $m$ 的最大值不小于 $5$．
若 $m\geqslant 6$，分别取 $k=3,6$，得 $3\leqslant q^3$，且 $q^5\leqslant 6$，从而 $q^{15}\geqslant 243$，且 $q^{15}\leqslant 216$，
所以 $q$ 不存在．因此所求 $m$ 的最大值小于 $6$．
综上，所求 $m$ 的最大值为 $5$．
由 $\begin{cases}a_2a_4=a_5\\a_3-4a_2+4a-1=0\end{cases}$，得 $\begin{cases}a_1^2q^4=a_1q^4\\a_1q^2-4a_1q+4a_1=0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a_1=1\\q=2\end{cases}$．
因此数列 $\{a_n\}$ 为“$M—$ 数列”．
（2）① 因为 $\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{2}{b_n}-\dfrac{2}{b_{n+1}}$，所以 $b_n\ne 0$．
由 $b_1=1,S_1=b_1$，得 $\dfrac{1}{1}=\dfrac{2}{1}-\dfrac{2}{b_2}$，则 $b_2=2$．
由 $\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{2}{b_n}-\dfrac{2}{b_{n+1}}$，得 $S_n=\dfrac{b_nb_{n+1}}{2(b_{n+1}-b_n)}$，
当 $n\geqslant 2$ 时，由 $b_n=S_n-S_{n-1}$，得 $b_n=\dfrac{b_nb_{n+1}}{2(b_{n+1}-b_n)}-\dfrac{b_{n-1}b_n}{2(b_n-b_{n-1})}$，
整理得 $b_{n+1}+b_{n-1}=2b_n$．
所以数列 $\{b_n\}$ 是首项和公差均为 $1$ 的等差数列．
因此，数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=n(n\in \mathbb{N}^{\ast})$．
② 由 ① 知，$b_k=k,k\in\mathbb{N}^{\ast}$．
因为数列 $\{c_n\}$ 为“$M–$ 数列”，设公比为 $q$，所以 $c_1=1,q>0$．
因为 $c_k\leqslant b_k\leqslant c_{k+1}$，所以 $q^{k-1}\leqslant k\leqslant q^k$，其中 $k=1,2,3,\cdots,m$．
当 $k=1$ 时，有 $q\geqslant 1$；
当 $k=2,3,\cdots,m$ 时，有 $\dfrac{\ln k}{k}\leqslant \ln q\leqslant\dfrac{\ln k}{k-1}$．
设 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}(x>1)$，则 $f^\prime (x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$．
令 $f^\prime(x)$，得 $x=e$．列表如下：
$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&\left(1,e\right)&e&\left(e,+\infty\right)\\\hline f^\prime(x)&+&0&-\\\hline f(x)&\nearrow&\text{极大值}&\searrow\\\hline\end{array}$
因为 $\dfrac{\ln 2}{2}=\dfrac{\ln 8}{6}<\dfrac{\ln 9}{6}=\dfrac{\ln 3}{3}$，所以 $f(k)_{\max}=f(3)=\dfrac{\ln 3}{3}$．
取 $q=\sqrt[3]{3}$，当 $k=1,2,3,4,5$ 时，$\dfrac{\ln k}{k}\leqslant \ln q$，即 $k\leqslant q^k$，
经检验知 $q^{k-1}\leqslant k$ 也成立．
因此所求 $m$ 的最大值不小于 $5$．
若 $m\geqslant 6$，分别取 $k=3,6$，得 $3\leqslant q^3$，且 $q^5\leqslant 6$，从而 $q^{15}\geqslant 243$，且 $q^{15}\leqslant 216$，
所以 $q$ 不存在．因此所求 $m$ 的最大值小于 $6$．
综上，所求 $m$ 的最大值为 $5$．
答案
解析
备注
