设 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，公比大于 $0$，其前 $n$ 项和为 $S_n(n\in\mathbb{N}^{\ast})$，$\left\{b_n\right\}$ 是等差数列，已知 $a_1=1$，$a_3=a_2+2$，$a_4=b_3+b_5$，$a_5=b_4+2b_6$．
【难度】
【出处】
2018年高考天津卷
【标注】
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求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；标注答案略解析设 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 $q$，则 $q^2=q+2$，由 $q>0$，解得 $q=2$．
$2b_4=8$，解得 $b_4=4$．
$b_4+2b_6=16$，解得 $b_6=6$．
解得 $a_n=2^{n-1}$，$b_n=n$． -
设数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n(n\in\mathbb{N})^{\ast}$；
① 求 $T_n$；
② 证明 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(T_k+b_{k+2})b_k}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{2^{n+2}}{n+2}-2(n\in\mathbb{N}^{\ast})$．标注答案略解析① $S_n=2^n-1$，$T_n=2^{n+1}-2-n$．
② $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(T_k+b_{k+2})b_k}{(k+1)(k+2)}=\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k 2^{k+1}}{(k+1)(k+2)}=\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(k+1)2^{k+2}-(k+2)2^{k+1}}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{2^{n+2}}{n+2}-2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
