设 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_9=-a_5$．
（1）若 $a_3=4$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）若 $a-1>0$，求使得 $S_n\geqslant a_n$ 的 $n$ 的取值范围．
（1）若 $a_3=4$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）若 $a-1>0$，求使得 $S_n\geqslant a_n$ 的 $n$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2019年高考全国I卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$．
由 $S_9=-a_5$ 得 $a_1+4d=0$．
由 $a_3=4$ 得 $a_1+2d=4$．
于是 $a_1=8,d=-2$．
因此 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=10-2n$．
（2）由（1）得 $a_1=-4d$，故 $a_n=(n-5)d,S_n=\dfrac{n(n-9)d}{2}$．
由 $a_1>0$ 知 $d<0$，故 $S_n\geqslant a_n$ 等价于 $n^2-11n+10\leqslant 0$，解得 $1\leqslant n\leqslant 10$．
所以 $n$ 的取值范围是 $\{n|1\leqslant n\leqslant 10,n\in\mathbb{N}\}$．
由 $S_9=-a_5$ 得 $a_1+4d=0$．
由 $a_3=4$ 得 $a_1+2d=4$．
于是 $a_1=8,d=-2$．
因此 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=10-2n$．
（2）由（1）得 $a_1=-4d$，故 $a_n=(n-5)d,S_n=\dfrac{n(n-9)d}{2}$．
由 $a_1>0$ 知 $d<0$，故 $S_n\geqslant a_n$ 等价于 $n^2-11n+10\leqslant 0$，解得 $1\leqslant n\leqslant 10$．
所以 $n$ 的取值范围是 $\{n|1\leqslant n\leqslant 10,n\in\mathbb{N}\}$．
答案
解析
备注
