已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，$a_1=2,a_3=2a_2+16$．
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\log_2a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\log_2a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．
【难度】
【出处】
2019年高考全国II卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，由题设得 $2q^2=4q+16$，即 $q^2-2q-8=0$．
解得 $q=-2$（舍去）或 $q=4$．
因此 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2\times 4^{n-1}=2^{2n-1}$．
（2）由（1）得 $b_n=(2n-1)\log_22=2n-1$，因此数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $1+3+\cdots+2n-1=n^2$．
解得 $q=-2$（舍去）或 $q=4$．
因此 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2\times 4^{n-1}=2^{2n-1}$．
（2）由（1）得 $b_n=(2n-1)\log_22=2n-1$，因此数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $1+3+\cdots+2n-1=n^2$．
答案
解析
备注
