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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27566 593e7fe02da6d2000c5813c3 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 满足 $x_0=5$，$y_0=2$，以及$$\begin{cases}x_{n+1}=-\dfrac{7}{2}x_n+6y_n,\\y_{n+1}=-3x_n+5y_n.\end{cases}$$求 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 以及 $\lim\limits_{n\to\infty}y_n$． 2022-04-17 21:27:05
27457 5909871839f91d0008f05057 高中 解答题 自招竞赛 直角三角形 $ABC_0$（$C_0$ 为直角）的三边长是两两互质的正整数，周长为 $p$．作 $C_0C_1 \perp AB$ 于 $C_1$，当 $n \geqslant 2$ 时，作 $C_{n-1}C_{n} \perp BC_{n-2}$ 于 $C_n$．已知 $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty}C_{n-1}C_n=6p$，求 $p$ 的值． 2022-04-17 21:24:04
27232 590bf127d42ca7000853754f 高中 解答题 自招竞赛 下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是 $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$（拉马努金式子），另一个是 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1$（已知欧拉公式 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}=\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha$）． 2022-04-17 21:21:02
27202 590c1e52d42ca7000a7e7e8e 高中 解答题 高中习题 设 $a>0$，$x_1>0$，且 $x_{n+1}=\dfrac 14\left(3x_n+\dfrac a{x_n^3}\right)$，$n\in\mathbb N^*$，则数列 $\{x_n\}$ 是否收敛？ 2022-04-17 21:04:02
27120 59101c15857b4200085f8709 高中 解答题 自招竞赛 两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 $\dfrac{1}{2}$．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． 2022-04-17 21:18:01
27075 5911108d40fdc70009113e35 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_1} = a$，${a_2} = b$，$2{a_{n + 2}} = {a_{n + 1}} + {a_n}$． 2022-04-17 21:52:00
27071 59111ebb40fdc70009113e5f 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 满足 ${b_1} = 1$，${b_n} > 0$ $\left( {n = 2 , 3 , \cdots } \right)$，其前 $n$ 项乘积 ${T_n} = {\left( {{a^{n - 1}}{b_n}} \right)^n}$ $\left( {n = 1 , 2 , \cdots } \right)$． 2022-04-17 21:50:00
27061 591132dee020e7000878f55c 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 为递增数列，${x_1} = 1$，${x_2} = 4$，在曲线 $y = \sqrt x $ 上与之对应的点列为 ${P_1}\left( {1,1} \right)$，${P_2}\left( {4,2} \right)$，${P_3}\left( {{x_3},\sqrt {{x_3}} } \right)$，…，${P_n}\left( {{x_n},\sqrt {{x_n}} } \right)$，…，且以 $O$ 为原点，由 $O{P_n}$、$O{P_{n + 1}}$ 与曲线 $O{P_{n + 1}}$ 所围成部分的面积为 ${S_n}$，若 $\left\{ {{S_n}} \right\}$（$n \in {\mathbb{N}}$）是公比为 $\dfrac{4}{5}$ 的等比数列，试求 ${S_1} + {S_2} + \cdots + {S_n} + \cdots $ 和 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}$． 2022-04-17 21:45:00
27020 5911776ee020e70007fbeae6 高中 解答题 自招竞赛 $A$ 和 $B$ 两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由 $A$ 开始掷，设第 $n$ 次由 $A$ 掷的概率是 ${A_n}$．试求： 2022-04-17 21:22:00
26999 591185c7e020e700094b0a28 高中 解答题 自招竞赛 一圆锥的底面半径为 $12$，高为 $16$，球 ${O_1}$ 内切于圆锥，球 ${O_2}$ 内切于圆锥侧面，与球 ${O_1}$ 外切，球 ${O_3}$ 内切于圆锥侧面，与球 ${O_2}$ 外切，……，以次类推． 2022-04-17 21:10:00
26984 591265f7e020e70007fbebae 高中 解答题 自招竞赛 设正三角形 $T_1$ 边长为 $a$，$T_{n+1}$ 是 $T_n$ 的中点三角形，$A_n$ 为 $T_n$ 除去 $T_{n+1}$ 后剩下三个三角形内切圆面积之和．求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{\sum\limits_{k=1}^{n}{A_k}}$． 2022-04-17 21:01:00
26976 591266a4e020e7000a7989c5 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的 ${a_1} = 1 , {a_2} = 3$，$3{a_{n + 2}} = 2{a_{n + 1}} + {a_n}$，求 ${a_n}$ 和 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}$． 2022-04-17 20:57:59
26942 591271b3e020e70007fbec71 高中 解答题 自招竞赛 无穷数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 定义如下：${a_1} = 1$，${a_2} = {a_3} = 2$，${a_4} = {a_5} = {a_6} = 3$，… 2022-04-17 20:39:59
26916 59128383e020e7000a798b47 高中 解答题 自招竞赛 设矩阵 $A =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$，$\begin{vmatrix} a & b \\ 0 & d \\ \end{vmatrix}\ne 0$ 并且 $a \ne d$，数列 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 满足 ${x_{n + 1}} = \dfrac{{a{x_n} + b}}{d}$（$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$）． 2022-04-17 20:24:59
26910 59128617e020e700094b0c49 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{{\log }_2}\left( {{a_n} - 1} \right)} \right\}$（$n \in {{\mathbb{N}}^*}$）为等差数列，且 ${a_1} = 3, {a_2} = 5$，求$$ \lim \limits_{n \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{{a_2} - {a_1}}} + \dfrac{1}{{{a_3} - {a_2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_{n + 1}} - {a_n}}}} \right).$$ 2022-04-17 20:20:59
26392 597eda88d05b9000091652fc 高中 解答题 高中习题 求 $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt [n]{n}$． 2022-04-17 20:32:54
26389 597edb1ed05b90000c80595f 高中 解答题 高中习题 求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left[n^2\left(\sqrt [n]{a}-\sqrt [n+1]{a}\right)\right]$，其中 $a>0$． 2022-04-17 20:30:54
26386 597edcb3d05b90000c80596d 高中 解答题 高中习题 设 $p , q$ 是一元二次方程 ${x^2} + 2ax - 1 = 0\left( {a > 0} \right)$ 的两个根，其中 $p > 0$．令 ${y_1} = p - q$，${y_{n + 1}} = y_n^2 - 2$，$n=1,2,\cdots$．证明：$\lim\limits_{n \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{{y_1}}} + \dfrac{1}{{{y_1}{y_2}}} + \cdot \cdot \cdot + \dfrac{1}{{{y_1}{y_2} \cdot \cdot \cdot {y_n}}}} \right) = p$． 2022-04-17 20:28:54
26239 59706969dbbeff0009d29f10 高中 解答题 高中习题 甲乙等 $4$ 人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外 $3$ 人中的任何 $1$ 人． 2022-04-17 20:09:53
26061 597edaf3d05b90000c80595c 高中 解答题 高中习题 求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+\sqrt 2+\sqrt [3]{3}+\cdots+\sqrt [n]{n}}{n}$． 2022-04-17 20:35:51
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