设矩阵 $A =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$，$\begin{vmatrix} a & b \\ 0 & d \\ \end{vmatrix}\ne 0$ 并且 $a \ne d$，数列 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 满足 ${x_{n + 1}} = \dfrac{{a{x_n} + b}}{d}$（$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$）．
【难度】
【出处】
2010年同济大学自主招生保送生测试
【标注】
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求 ${A^2}$；标注答案${A^2} =\begin{pmatrix} {a^2} + bc & {b\left( {a + d} \right)} \\ {c\left( {a + d} \right)} & {{d^2} + bc} \\ \end{pmatrix}$解析$${A^2} =\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {a^2} + bc & {b\left( {a + d} \right)} \\ {c\left( {a + d} \right)} & {{d^2} + bc} \\ \end{pmatrix}.$$
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设 ${x_1} = c$，求数列 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 的通项公式；标注答案${x_n} = \left( {c + \dfrac{b}{{a - d}}} \right){\left( {\dfrac{a}{d}} \right)^{n - 1}} - \dfrac{b}{{a - d}}$解析$\begin{vmatrix}a & b \\ 0 & d \\ \end{vmatrix}\ne 0$ 即 $ad \ne 0$．
用不动点法易求得$${x_n} = \left( {c + \dfrac{b}{{a - d}}} \right){\left( {\dfrac{a}{d}} \right)^{n - 1}} - \dfrac{b}{{a - d}}.$$ -
在什么条件下数列 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 存在极限？并求此时的极限 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}$．标注答案当 $c + \dfrac{b}{{a - d}} = 0$ 时，$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} $ $ = \dfrac{b}{{d - a}} $；当 $ c + \dfrac{b}{{a - d}} \ne 0 $ 时，$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}$ $ = \dfrac{b}{{d - a}}$解析若 ${x_n}$ 的极限存在．
情形一 $c + \dfrac{b}{{a - d}} = 0$ 时，$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} $ $ = \dfrac{b}{{d - a}} $；情形二 $ c + \dfrac{b}{{a - d}} \ne 0 $ 时，$ \left| {\dfrac{a}{d}} \right| < 1 $，此时 $ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}$ $ = \dfrac{b}{{d - a}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
