设 $a>0$，$x_1>0$，且 $x_{n+1}=\dfrac 14\left(3x_n+\dfrac a{x_n^3}\right)$，$n\in\mathbb N^*$，则数列 $\{x_n\}$ 是否收敛？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\{x_n\}$ 收敛于 $\sqrt[4]a$
【解析】
易得 $x_n>0$，$n\in\mathbb N^*$，于是由均值不等式可得$$x_{n+1}=\dfrac 14\left(x_n+x_n+x_n+\dfrac a{x_n^3}\right)\geqslant \sqrt[4]{a},$$归纳易得 $x_n\geqslant \sqrt[4]a$，$n\in\mathbb N^*$，$n\geqslant 2$．又$$\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac 14\left(3+\dfrac{a}{x_n^4}\right)\leqslant 1,$$于是数列 $\{x_n\}$ 单调递减有下界，因此数列 $\{x_n\}$ 收敛．
容易计算得数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $\sqrt[4]a$．
容易计算得数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $\sqrt[4]a$．
答案
解析
备注
