设正三角形 $T_1$ 边长为 $a$，$T_{n+1}$ 是 $T_n$ 的中点三角形，$A_n$ 为 $T_n$ 除去 $T_{n+1}$ 后剩下三个三角形内切圆面积之和．求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{\sum\limits_{k=1}^{n}{A_k}}$．
【难度】
【出处】
2007年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi a^2}{12}$
【解析】
因为 $T_n$ 的边长构成公比为 $\dfrac 12$ 的等比数列，即数列 $\left\{\left(\dfrac 12\right)^{n-1}a\right\}$，而 $T_n$ 除去 $T_{n+1}$ 得到的三个三角形大小都与 $T_{n+1}$ 相同，即它们的边长为数列 $\left\{\left(\dfrac 12\right)^na\right\}$，从而有$$A_n=3\cdot\pi\left(\dfrac {\sqrt 3}6\cdot\left(\dfrac 12\right)^na\right)^2=\dfrac {\pi a^2}{4}\cdot\left(\dfrac 14\right)^n.$$从而有$$\lim\limits_{n\to\infty}{\sum\limits_{k=1}^{n}{A_k}}=\dfrac{\pi a^2}{4}\cdot\dfrac {\frac 14}{1-\frac14}=\dfrac{\pi a^2}{12}.$$
答案
解析
备注
