题目 甲乙等 $4$ 人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外 $3$ 人中的任何 $1$ 人． 问题1 经过 $2$ 次传球后，球在甲、乙两人手中的概率各是多少？ 答案1 $\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9}$ 解析1 两次传球，每次传球后，球所处位置的可能情况为：<br/>乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．<br/>于是经过 $2$ 次传球后，球在甲、乙两人手中的概率各是 $\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9}$． 备注1 问题2 球经过 $n$ 次传球后，球在甲手中的概率记为 ${p_n}$（$n = 1 , 2 , 3 , \cdots $），试求出 ${p_{n + 1}}$ 和 ${p_n}$ 的关系，并求 ${p_n}$ 的表达式及 $\lim\limits_{n \to +\infty } {p_n}$． 答案2 ${p_n} = \dfrac{3}{4} \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^n} + \dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{4}$ 解析2 因为$${p_{n + 1}} = 0 \cdot {p_n} + \dfrac{1}{3} \cdot \left( {1 - {p_n}} \right),$$所以$${p_{n + 1}} - \dfrac{1}{4} = - \dfrac{1}{3}\left( {{p_n} - \dfrac{1}{4}} \right),$$从而$${p_n} = \dfrac{3}{4} \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^n} + \dfrac{1}{4},$$故 $\lim \limits_{n \to + \infty } {p_n} = \dfrac{1}{4}$ 备注2