求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+\sqrt 2+\sqrt [3]{3}+\cdots+\sqrt [n]{n}}{n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
记\[S_n=\dfrac{1+\sqrt 2+\sqrt [3]{3}+\cdots+\sqrt [n]{n}}{n},\]显然 $S_n\geqslant 1$．
另一方面，有\[\begin{split}S_n&\leqslant \dfrac 1n\left(n+\sqrt{\dfrac 21}+\sqrt{\dfrac 22}+\sqrt{\dfrac 23}\cdots+\sqrt{\dfrac 2n}\right)\\&\leqslant 1+\sqrt[4]{\dfrac 1n\left(\dfrac 41+\dfrac 44+\dfrac 49+\cdots+\dfrac 4{n^2}\right)}\\&\leqslant 1+\sqrt[4]{\dfrac 4n\left(1+\dfrac 1{1\cdot 2}+\dfrac 1{2\cdot 3}+\cdots+\dfrac 1{n(n-1)}\right)}\\&\leqslant 1+\sqrt[4]{\dfrac 8n},\end{split}\]由夹逼判敛法可得\[\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+\sqrt 2+\sqrt [3]{3}+\cdots+\sqrt [n]{n}}{n}=1.\]
另一方面，有\[\begin{split}S_n&\leqslant \dfrac 1n\left(n+\sqrt{\dfrac 21}+\sqrt{\dfrac 22}+\sqrt{\dfrac 23}\cdots+\sqrt{\dfrac 2n}\right)\\&\leqslant 1+\sqrt[4]{\dfrac 1n\left(\dfrac 41+\dfrac 44+\dfrac 49+\cdots+\dfrac 4{n^2}\right)}\\&\leqslant 1+\sqrt[4]{\dfrac 4n\left(1+\dfrac 1{1\cdot 2}+\dfrac 1{2\cdot 3}+\cdots+\dfrac 1{n(n-1)}\right)}\\&\leqslant 1+\sqrt[4]{\dfrac 8n},\end{split}\]由夹逼判敛法可得\[\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+\sqrt 2+\sqrt [3]{3}+\cdots+\sqrt [n]{n}}{n}=1.\]
答案
解析
备注
