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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27194 590c2562857b42000aca37f7 高中 解答题 自招竞赛 求证：平面内间距为 $d$ 的一组平行直线，任意放一长为 $l$（$l < d$）的针与直线相交的概率为 $P = \dfrac{{2l}}{{\pi d}}$． 2022-04-17 21:59:01
27188 591270e8e020e7000a798a63 高中 解答题 高考真题 已知 $f(x)=a(x-\ln x)+\dfrac{2x-1}{x^2}$，$a\in\mathbb R$． 2022-04-17 21:56:01
27187 590c2dbd857b4200092b069e 高中 解答题 高考真题 设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=(x-a)^2+|x-a|-a(a-1)$． 2022-04-17 21:56:01
27185 590c322b857b4200085f85d9 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f\left( x \right) = x\ln x$． 2022-04-17 21:55:01
27180 590c341c857b420007d3e53c 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域均为 $\mathbb R$，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数，$f(x)+g(x)={\rm e}^x$，其中 ${\rm e}$ 为自然对数的底数． 2022-04-17 21:51:01
27165 590fcd7c857b4200085f8646 高中 解答题 自招竞赛 记函数 ${f_n}\left( x \right) = 1 + x + \dfrac{{{x^2}}}{{2! }} + \dfrac{{{x^3}}}{{3! }} + \cdots + \dfrac{{{x^n}}}{{n! }}$，$n = 1, 2, \cdots$．
证明：当 $n$ 是偶数时，方程 ${f_n}\left( x \right) = 0$ 没有实根；当 $n$ 是奇数时，方程 ${f_n}\left( x \right) = 0$ 有唯一的实根 ${\theta _n}$，且 ${\theta _n} > {\theta _{n + 2}}$．		 2022-04-17 21:43:01
27154 590fe6ca857b42000aca38e2 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)=ax+\sin x$ 表示的图象上有两条切线相互垂直，求 $a$ 的值． 2022-04-17 21:36:01
27123 59101ba4857b42000aca3960 高中 解答题 自招竞赛 求极限 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{1^p} + {2^p} + \cdots + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}}(p > 0)$． 2022-04-17 21:19:01
27122 59101bd1857b42000aca3964 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( x \right) =\begin{cases}
{x^2} + bx + c\left( {x > 0} \right) ,\\
lx + m\left( {x \leqslant 0} \right) ,\\
\end{cases}$（$b,c > 0$）在 $x = 0$ 处可导，且原点到 $f\left( x \right)$ 中直线的距离为 $\dfrac{1}{3}$，原点到 $f\left( x \right)$ 中二次曲线部分的最短距离为 $3$，试求 $b,c,l,m$ 的值．		 2022-04-17 21:19:01
27110 5927c20f74a309000997fc45 高中 解答题 高考真题 已知 $M$ 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 $f(x)\in M$，① 方程 $f(x)-x=0$ 有实数根；② 函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 满足 $0<f'(x)<1$． 2022-04-17 21:13:01
27065 5957a155d3b4f900095c66bc 高中 解答题 高中习题 已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\sin x\cdot \tan x>x^2$． 2022-04-17 21:48:00
27061 591132dee020e7000878f55c 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 为递增数列，${x_1} = 1$，${x_2} = 4$，在曲线 $y = \sqrt x $ 上与之对应的点列为 ${P_1}\left( {1,1} \right)$，${P_2}\left( {4,2} \right)$，${P_3}\left( {{x_3},\sqrt {{x_3}} } \right)$，…，${P_n}\left( {{x_n},\sqrt {{x_n}} } \right)$，…，且以 $O$ 为原点，由 $O{P_n}$、$O{P_{n + 1}}$ 与曲线 $O{P_{n + 1}}$ 所围成部分的面积为 ${S_n}$，若 $\left\{ {{S_n}} \right\}$（$n \in {\mathbb{N}}$）是公比为 $\dfrac{4}{5}$ 的等比数列，试求 ${S_1} + {S_2} + \cdots + {S_n} + \cdots $ 和 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}$． 2022-04-17 21:45:00
27054 5959dcd6d3b4f9000ad5ea5e 高中 解答题 高中习题 求证：${\rm e}^x-\ln x > 2.3$． 2022-04-17 21:41:00
27044 5959dfb8d3b4f90007b6fde7 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b>0$ 且 $ab=1$，求证：$2^{a+b}\geqslant 2^a+2^b$． 2022-04-17 21:36:00
27043 5959dfbad3b4f9000ad5ea6c 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b>0$ 且 $ab=1$，求证：$2^{a+b}\geqslant 2^a+2^b$． 2022-04-17 21:35:00
27036 59117091e020e700094b0987 高中 解答题 高考真题 已知 $a>0$，函数 $f\left(x\right)=a{\mathrm e}^x\cos x\left(x\in \left[0,+\infty\right)\right)$．记 $x_n$ 为 $f\left(x\right)$ 的从小到大的第 $n\left(n\in \mathbb N^*\right)$ 个极值点． 2022-04-17 21:32:00
27035 591171eae020e70007fbeaa0 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是各项为正数且公差为 $d\left(d\neq 0\right)$ 的等差数列． 2022-04-17 21:31:00
27022 591176fae020e7000a7988e4 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( x \right) = \left| {\lg x} \right|$，$a,b \in {\mathbb{R}}$，且 $0 < a < b$．若 $a,b$ 满足 $f\left( a \right) = f\left( b \right) = 2f\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)$．试写出 $a$ 与 $b$ 的关系，并证明在这一关系中存在 $b$ 满足 $3 < b < 4$． 2022-04-17 21:23:00
27015 59460fa5a26d280008874a2d 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right)=-2\left(x+a\right)\ln x+x^2-2ax-2a^2+a$，其中 $a>0$． 2022-04-17 21:20:00
26998 591186efe020e70007fbeb4c 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=(x+1)\ln x-a(x-1)$． 2022-04-17 21:09:00
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