求极限 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{1^p} + {2^p} + \cdots + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}}(p > 0)$．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学保送生测试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{{p + 1}}$
【解析】
由题意，得\[\begin{split}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{1^p} + {2^p} + \cdots + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}}& = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{n}} \right)}^p} + {{\left( {\dfrac{2}{n}} \right)}^p} + \cdots + {{\left( {\dfrac{n}{n}} \right)}^p}}}{{{n^1}}}\\& = \int_0^1 {{x^p}{\mathrm d}x} = \left. {\dfrac{1}{{p + 1}}{x^{p + 1}}} \right|_0^1 \\
&= \dfrac{1}{{p + 1}}.\end{split}\]
&= \dfrac{1}{{p + 1}}.\end{split}\]
答案
解析
备注
