题目 设函数 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域均为 $\mathbb R$，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数，$f(x)+g(x)={\rm e}^x$，其中 ${\rm e}$ 为自然对数的底数． 问题1 求 $f(x)$，$g(x)$ 的解析式，并证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$，$g(x)>1$； 答案1 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}2$，$g(x)=\dfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}2$ 解析1 根据题意，有$$f(-x)+g(-x)={\rm e}^{-x},$$于是$$-f(x)+g(x)={\rm e}^{-x},$$联合 $f(x)+g(x)={\rm e}^x$ 可以解得$$f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}2,g(x)=\dfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}2.$$当 $x>0$ 时，有$${\rm e}^x>1>{\rm e}^{-x},$$于是 $f(x)>0$．<br/>又当 $x>0$ 时，有$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}\geqslant 2\sqrt{{\rm e}^x\cdot{\rm e}^{-x}}=2,$$且等号无法取得（等号当且仅当 ${\rm e}^x=1$，即 $x=0$ 时取得），于是 $g(x)>1$．<br/>综上，$f(x)$，$g(x)$ 的解析式为 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}2$，$g(x)=\dfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}2$，且欲证不等式成立． 备注1 问题2 设 $a\leqslant 0$，$b\geqslant 1$，证明：当 $x>0$ 时，$$ag(x)+(1-a)<\dfrac{f(x)}x<bg(x)+(1-b).$$ 答案2 略 解析2 当 $a\leqslant 0$，$x>0$ 时，有$$ag(x)+(1-a)=[g(x)-1]\cdot a+1\leqslant 1;$$当 $b\geqslant 1$，$x>0$ 时，有$$bg(x)+(1-b)=[g(x)-1]\cdot b+1\geqslant g(x);$$因此欲证不等式即$$1<\dfrac{f(x)}x<g(x),$$也即$$x<f(x)<x\cdot g(x).$$注意到$$f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),$$于是$$\left(f(x)-x\right)'=f'(x)-1=g(x)-1\geqslant 0,$$于是函数 $f(x)-x$ 单调递增，因此$$f(x)-x>f(0)-0=0,$$左边的不等式得证；<br/>另一方面$$\left(x\cdot g(x)-f(x)\right)'=g(x)+x\cdot g'(x)-f'(x)=x\cdot f(x)>0,$$于是函数 $x\cdot g(x)-f(x)$ 单调递增，因此$$x\cdot g(x)-f(x)>0\cdot g(0)-f(0)=0,$$右边的不等式得证．<br/>综上，原命题得证． 备注2