已知 $a,b>0$ 且 $ab=1$，求证：$2^{a+b}\geqslant 2^a+2^b$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $LHS=f(x)$，则 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{\ln 2}{x^2\cdot 2^{x+\frac 1x}}\cdot \left(2^x-x^2\cdot 2^{\frac 1x}\right).$$注意到当 $x\to 0+$ 时，$f(x)\to 1$，而 $f(1)=1$，因此只需要说明函数 $f(x)$ 在 $(1,2]$ 上的极值不超过 $1$．
设 $m$ 为 $f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上的极值点，则$$2^m-m^2\cdot 2^{\frac 1m}=0,$$则其极值$$f(m)=\dfrac{1}{2^m}+\dfrac1{2^{\frac 1m}}=\dfrac{1+m^2}{2^m},$$接下来尝试证明辅助命题$$\forall m\in (0,1],2^m\geqslant m^2+1.$$设 $g(m)=2^m-m^2-1$，则$$g(0)=g(1)=0,$$而 $g(x)$ 的导函数$$g'(m)=2^m\ln 2-2m,$$其二阶导函数$$g''(m)=2^m\ln^22-2,$$于是 $g'(m)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，又 $g'(0)>0$，$g'(1)<0$，因此 $g(m)$ 在 $(0,1]$ 上先单调递增，后单调递减，于是辅助命题得证．
综上所述，原不等式得证．
设 $m$ 为 $f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上的极值点，则$$2^m-m^2\cdot 2^{\frac 1m}=0,$$则其极值$$f(m)=\dfrac{1}{2^m}+\dfrac1{2^{\frac 1m}}=\dfrac{1+m^2}{2^m},$$接下来尝试证明辅助命题$$\forall m\in (0,1],2^m\geqslant m^2+1.$$设 $g(m)=2^m-m^2-1$，则$$g(0)=g(1)=0,$$而 $g(x)$ 的导函数$$g'(m)=2^m\ln 2-2m,$$其二阶导函数$$g''(m)=2^m\ln^22-2,$$于是 $g'(m)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，又 $g'(0)>0$，$g'(1)<0$，因此 $g(m)$ 在 $(0,1]$ 上先单调递增，后单调递减，于是辅助命题得证．
综上所述，原不等式得证．
答案
解析
备注
