设 $f\left( x \right) = \left| {\lg x} \right|$，$a,b \in {\mathbb{R}}$，且 $0 < a < b$．若 $a,b$ 满足 $f\left( a \right) = f\left( b \right) = 2f\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)$．试写出 $a$ 与 $b$ 的关系，并证明在这一关系中存在 $b$ 满足 $3 < b < 4$．
【难度】
【出处】
2002年上海交通大学保送生连读班考试
【标注】
【答案】
$ab = 1$
【解析】
结合 $f(x)$ 草图易知$$0 < a < 1 \leqslant b.$$此时\[\begin{split}f\left( a \right) &= - \lg a = \lg \dfrac{1}{a},\\ f\left( b \right) &= \lg b.\end{split}\]由$$f\left( a \right) = f\left( b \right),$$得$$\dfrac{1}{a} = b,$$即 $ab = 1$．又$$\dfrac{{a + b}}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {b + \dfrac{1}{b}} \right) \geqslant 1,$$所以$$f\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right) = \lg \dfrac{{a + b}}{2}.$$由$$f\left( b \right) = 2\lg \dfrac{{a + b}}{2},$$得$$b = {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}{\left( {b + \dfrac{1}{b}} \right)^2}.$$整理得$${b^4} - 4{b^3} + 2{b^2} + 1 = 0 \Rightarrow \left( {b - 1} \right)\left( {{b^3} - 3{b^2} - b - 1} \right) = 0,$$又 $b \ne 1$（否则 $a = 1$），所以$${b^3} - 3{b^2} - b - 1 = 0,$$故 $a,b$ 满足的关系为$${b^3} - 3{b^2} - b - 1 = 0\land b > 1\land ab = 1.$$设$$g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - x - 1,$$由$$g\left( 3 \right) = - 4 < 0,g\left( 4 \right) = 11 > 0.$$知 $g\left( x \right) = 0$ 在 $\left( {3,4} \right)$ 上至少有一根，所以 $b\in(3,4)$．
又因为 $g'(x)=3x^2-6x-1=3x(x-2)-1$ 在 $x\in(2,3)$ 时为正，所以 $g(x)$ 在 $(3,4)$ 上单调递增，所以 $g(x)$ 在 $(3,4)$ 上有且仅有一根．
又因为 $g'(x)=3x^2-6x-1=3x(x-2)-1$ 在 $x\in(2,3)$ 时为正，所以 $g(x)$ 在 $(3,4)$ 上单调递增，所以 $g(x)$ 在 $(3,4)$ 上有且仅有一根．
答案
解析
备注
