设 $f\left( x \right) =\begin{cases}
{x^2} + bx + c\left( {x > 0} \right) ,\\
lx + m\left( {x \leqslant 0} \right) ,\\
\end{cases}$（$b,c > 0$）在 $x = 0$ 处可导，且原点到 $f\left( x \right)$ 中直线的距离为 $\dfrac{1}{3}$，原点到 $f\left( x \right)$ 中二次曲线部分的最短距离为 $3$，试求 $b,c,l,m$ 的值．
{x^2} + bx + c\left( {x > 0} \right) ,\\
lx + m\left( {x \leqslant 0} \right) ,\\
\end{cases}$（$b,c > 0$）在 $x = 0$ 处可导，且原点到 $f\left( x \right)$ 中直线的距离为 $\dfrac{1}{3}$，原点到 $f\left( x \right)$ 中二次曲线部分的最短距离为 $3$，试求 $b,c,l,m$ 的值．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学保送生测试题
【标注】
【答案】
$c = 3$，$m = 3$，$l = 4\sqrt 5 $，$b = 4\sqrt 5 $
【解析】
$f\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处可导，则 $f\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处连续，所以 $c = m$．
$f'\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 时，左导数 $ = $ 右导数，$f'\left( {0 - } \right) = l$，$f'\left( {0 + } \right) = b$，所以 $b = l$．
由原点到 $f\left( x \right)$ 中的直线距离为 $\dfrac{1}{3}$，可得$$\dfrac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {1 + {l^2}} }} = \dfrac{1}{3},$$所以$$9{m^2} = 1 + {l^2}.$$因为 $b,c > 0$，所以 ${x^2} + bx + c$ 在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上恒大于 $0$，
原点到二次曲线的距离$$d = \sqrt {{x^2} + {{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^2}} \geqslant c,$$所以 $c = 3$．
所以 $m = 3$，$l = 4\sqrt 5 $，$b = 4\sqrt 5 $．
$f'\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 时，左导数 $ = $ 右导数，$f'\left( {0 - } \right) = l$，$f'\left( {0 + } \right) = b$，所以 $b = l$．
由原点到 $f\left( x \right)$ 中的直线距离为 $\dfrac{1}{3}$，可得$$\dfrac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {1 + {l^2}} }} = \dfrac{1}{3},$$所以$$9{m^2} = 1 + {l^2}.$$因为 $b,c > 0$，所以 ${x^2} + bx + c$ 在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上恒大于 $0$，
原点到二次曲线的距离$$d = \sqrt {{x^2} + {{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^2}} \geqslant c,$$所以 $c = 3$．
所以 $m = 3$，$l = 4\sqrt 5 $，$b = 4\sqrt 5 $．
答案
解析
备注
