题目 已知函数 $f(x)=(x+1)\ln x-a(x-1)$． 问题1 当 $a=4$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程； 答案1 $y=-2x+2$ 解析1 当 $a=4$ 时，$f(1)=0$，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\ln x+\dfrac 1x-3,$$因此 $f'(1)=-2$，从而所求的切线方程为 $y=-2(x-1)$，也即 $y=-2x+2$． 备注1 问题2 若当 $x\in (1,+\infty)$ 时，$f(x)>0$，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left(-\infty,2\right]$ 解析2 题中不等式即$$\ln x-a\cdot \dfrac{x-1}{x+1}>0,$$记左侧函数为 $g(x)$，则 $g(1)=0$，其导函数$$g'(x)=\dfrac {x^2+(2-2a)x+1}{x(x+1)^2},$$分析端点可知分界点为 $2$．<br/><case>情形一</case> $a\leqslant 2$．此时$$g(x)>\ln x-2\cdot \dfrac{x-1}{x+1},$$记右侧函数为 $h(x)$，则其导函数$$h'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2},$$因此在 $(1,+\infty)$ 上 $h(x)$ 单调递增，又 $h(1)=0$，因此在 $(1,+\infty)$ 上，有 $h(x)>0$，符合题意．<br/><case>情形二</case> $a>2$．此时在区间 $\left(1,a-1+\sqrt{a^2-2a}\right)$ 上有 $g'(x)<0$，又 $g(1)=0$，因此在该区间内 $g(x)<0$，不符合题意．<br/>综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,2\right]$． 备注2