题目 设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=(x-a)^2+|x-a|-a(a-1)$． 问题1 若 $f(0)\leqslant1$，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$ 解析1 根据题意，$f(0)=|a|+a\leqslant 1$，于是 $a\leqslant \dfrac 12$． 备注1 问题2 讨论 $f(x)$ 的单调性； 答案2 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty )$ 上单调递增 解析2 根据已知，有$$f(x)=\begin{cases} x^2-(2a+1)x+2a,&x<a,\\x^2-(2a-1)x,&x\geqslant a.\end{cases}$$注意到两段抛物线的对称轴分别为 $x=a+\dfrac 12$ 和 $x=a-\dfrac 12$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty )$ 上单调递增． 备注2 问题3 当 $a\geqslant2$ 时，讨论 $f(x)+\dfrac{4}{x}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的零点个数． 答案3 当 $a=2$ 时，$1$ 个零点；当 $a>2$ 时，$2$ 个零点 解析3 设 $g(x)=f(x)+\dfrac 4x$，由于 $f(x)$ 需要分段讨论，因此分段讨论 $g(x)$．<br/>当 $x<a$ 时，函数 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=2x-(2a+1)-\dfrac 4{x^2}=2(x-a)-1-\dfrac 4{x^2}<0,$$因此函数 $g(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减；<br/>当 $x=a$ 时，$g(a)=-a^2+a+\dfrac 4a=\dfrac{a^2+a+2}a\cdot (2-a)$；<br/>当 $x>a$ 时，函数 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=2x-(2a-1)-\dfrac 4{x^2}=2(x-a)+\dfrac{x^2-4}{x^2}>0,$$因此函数 $g(x)$ 在 $(a,+\infty )$ 上单调递增．<br/>因此，$g(a)$ 为函数 $g(x)$ 的最小值．<br/><case>情形一</case>当 $a=2$ 时，$g(a)=0$，函数 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的零点个数为 $1$；<br/><case>情形二</case>当 $a>2$ 时，$g(a)<0$，在区间 $(0,a)$ 上，函数$$g(x)>x^2-(2a+1)x+2a=(x-1)(x-2a),$$于是 $g(1)>0$，因此函数 $g(x)$ 在区间 $(0,a)$ 上有 $1$ 个零点；<br/>在区间 $(a,+\infty )$ 上，函数$$g(x)>x^2-(2a-1)x=x(x-2a+1),$$于是 $g(2a)>0$，因此函数 $g(x)$ 在区间 $(a,+\infty )$ 上有 $1$ 个零点．<br/>综上，当 $a=2$ 时，函数 $f(x)+\dfrac 4x$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $1$ 个零点；当 $a>2$ 时，函数 $f(x)+\dfrac 4x$ 在 $(0,+\infty )$ 上有 $2$ 个零点． 备注3