求证：${\rm e}^x-\ln x > 2.3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设函数 $f(x)={\rm e}^x-\ln x$，则 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac 1x,x>0,$$因此方程 ${\rm e}^x-\dfrac 1x=0$ 的解为函数 $f(x)$ 的极小值点，可以估计出极小值点约为 $0.5$．虽然无法直接求出极小值点，但是可以利用求极值点的方程进行估计．
显然方程 ${\rm e}^x-\dfrac 1x=0$ 的解唯一，设为 $m$，则$${\rm e}^m= \dfrac 1m,\ln m=-m,$$从而 $f(x)$ 的极小值，亦为最小值为$$f(m)={\rm e}^m-\ln m=\dfrac 1m+m.$$当 $x\in (0,1)$ 时，有 $\ln x>\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)$，于是$$m=-\ln m<-\dfrac 12\left(m-\dfrac 1m\right),$$从而 $0<m<\dfrac{1}{\sqrt 3}$，因此$$f(m)=\dfrac 1m+m>\sqrt 3+\dfrac{1}{\sqrt 3}>2.3.$$
显然方程 ${\rm e}^x-\dfrac 1x=0$ 的解唯一，设为 $m$，则$${\rm e}^m= \dfrac 1m,\ln m=-m,$$从而 $f(x)$ 的极小值，亦为最小值为$$f(m)={\rm e}^m-\ln m=\dfrac 1m+m.$$当 $x\in (0,1)$ 时，有 $\ln x>\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)$，于是$$m=-\ln m<-\dfrac 12\left(m-\dfrac 1m\right),$$从而 $0<m<\dfrac{1}{\sqrt 3}$，因此$$f(m)=\dfrac 1m+m>\sqrt 3+\dfrac{1}{\sqrt 3}>2.3.$$
答案
解析
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