题目 设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是各项为正数且公差为 $d\left(d\neq 0\right)$ 的等差数列． 问题1 证明：$2^{a_1},2^{a_2},2^{a_3},2^{a_4}$ 依次构成等比数列； 答案1 略 解析1 注意到$$\dfrac{2^{a_2}}{2^{a_1}}=\dfrac{2^{a_3}}{2^{a_2}}=\dfrac{2^{a_4}}{2^{a_3}}=2^d,$$于是命题得证． 备注1 问题2 是否存在 $a_1,d$，使得 $a_1,a_2^2,a_3^3,a_4^4$ 依次构成等比数列？并说明理由； 答案2 不存在 $a_1,d$ 使得 $a_1,a_2^2,a_3^3,a_4^4$ 依次构成等比数列 解析2 若 $a_1,a_2^2,a_3^3,a_4^4$ 依次构成等比数列，记 $a_0=a_1-d$，那么$$\ln (a_0+ d),2\ln (a_0+ 2d),3\ln (a_0+ 3d),4\ln (a_0+ 4d)$$构成等差数列，设该等差数列为 $b_0+d_0,b_0+2d_0,b_0+3d_0,b_0+4d_0$，则关于 $x$ 的方程$$x\ln(a_0+dx)=b_0+d_0x$$至少有 $4$ 个实数根 $x=1,2,3,4$．<br/>设函数 $\varphi(x)=\ln(a_0+dx)-\dfrac{b_0+d_0x}x$，则其导函数$$\varphi'(x)=\dfrac{d}{a_0+dx}+\dfrac{b_0}{x^2}=\dfrac{dx^2+b_0dx+a_0b_0}{x^2(a_0+dx)},$$由于 $\varphi'(x)$ 至多有 $2$ 个零点，因此函数 $\varphi(x)$ 的单调性至多发生 $2$ 次变化，所以不可能有多于 $3$ 个零点（因为连续函数在两个相邻零点之间都至少发生一次单调性变化），从而不存在 $a_1,d$ 使得 $a_1,a_2^2,a_3^3,a_4^4$ 依次构成等比数列． 备注2 问题3 是否存在 $a_1,d$ 及正整数 $n,k$，使得 $a_1^n,a_2^{n+k},a_3^{n+2k},a_4^{n+3k}$ 依次构成等比数列？并说明理由． 答案3 不存在 $a_1,d$ 及正整数 $n,k$，使得 $a_1^n,a_2^{n+k},a_3^{n+2k},a_4^{n+3k}$ 依次构成等比数列 解析3 若 $a_1^n,a_2^{n+k},a_3^{n+2k},a_4^{n+3k}$ 依次构成等比数列，那么$$n\ln a_1,(n+k)\ln(a_1+d),(n+2k)\ln(a_1+2d),(n+3k)\ln(a_1+3d)$$构成等差数列，设该等差数列为 $b_1,b_1+d_1,b_1+2d_1,b_1+3d_1$，则关于 $x$ 的方程$$(n+kx)\ln(a_1+dx)=b_1+d_1x$$至少有 $4$ 个实数根 $x=0,1,2,3$．<br/>设函数 $\mu(x)=\ln(a_1+dx)-\dfrac{b_1+d_1x}{n+kx}$，则其导函数$$\mu'(x)=\dfrac{d}{a_1+dx}-\dfrac{nd_1-kb_1}{(n+kx)^2}=\dfrac{d(n+kx)^2-(nd_1-kb_1)(a_1+dx)}{(a_1+dx)(n+kx)^2},$$由于 $\mu'(x)$ 至多有 $2$ 个零点，因此函数 $\mu(x)$ 的单调性至多发生 $2$ 次变化，所以不可能有多于 $3$ 个零点（理由同上），从而不存在 $a_1,d$ 及正整数 $n,k$，使得 $a_1^n,a_2^{n+k},a_3^{n+2k},a_4^{n+3k}$ 依次构成等比数列． 备注3