已知 $a>0$，函数 $f\left(x\right)=a{\mathrm e}^x\cos x\left(x\in \left[0,+\infty\right)\right)$．记 $x_n$ 为 $f\left(x\right)$ 的从小到大的第 $n\left(n\in \mathbb N^*\right)$ 个极值点．
【难度】
【出处】
2015年高考湖南卷（文）
【标注】
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证明：数列 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 是等比数列；标注答案略解析$f(x)$ 的导函数$$f'(x)=a{\rm e}^x(\cos x-\sin x)=\sqrt 2a{\rm e}^x\sin\left(x+\dfrac{3\pi}4\right),$$于是可得 $x_n=n\pi-\dfrac{3\pi}4$，$n\in{\mathbb N^*}$．
因此 $f(x_n)=a{\rm e}^{n\pi-\frac{3\pi}4}\cdot\cos\left(n\pi-\dfrac{3\pi}4\right)$，从而$$\dfrac{f(x_{n+1})}{f(x_n)}=-{\rm e}^{\pi},$$于是数列 $\{f(x_n)\}$ 是等比数列． -
若对一切 $n\in \mathbb N^*$，$x_n\leqslant \left|f\left(x_n\right) \right|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．标注答案$\left[\dfrac{\sqrt 2\pi}4\cdot{\rm e}^{-\frac{\pi}4},+\infty \right)$解析题中条件即$$\forall n\in{\mathbb N^*},n\pi-\dfrac{3\pi}4\leqslant\left|a{\rm e}^{n\pi-\frac{3\pi}4}\cdot\cos\left(n\pi-\dfrac{3\pi}4\right)\right|,$$也即 $a\geqslant \dfrac{\sqrt 2x}{{\rm e}^x}$，其中$$x=\dfrac {\pi}4,\dfrac{5\pi}4,\cdots,n\pi-\dfrac{3\pi}4,\cdots $$令 $g(x)=\dfrac{x}{{\rm e}^x}$，则 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=\dfrac{1-x}{{\rm e}^x},$$因此 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减，因此 $a$ 的取值范围是$$a\geqslant \sqrt 2\cdot\max\left\{g\left(\dfrac{\pi}4\right),g\left(\dfrac{5\pi}4\right)\right\}=\sqrt 2\cdot g\left(\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt 2\pi}4\cdot{\rm e}^{-\frac{\pi}4},$$也即 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 2\pi}4\cdot{\rm e}^{-\frac{\pi}4},+\infty \right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
