题目 已知 $f(x)=a(x-\ln x)+\dfrac{2x-1}{x^2}$，$a\in\mathbb R$． 问题1 讨论 $f(x)$ 的单调性； 答案1 当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．<br/>当 $0<a<2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $\left(1,\sqrt{\dfrac 2a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt{\dfrac 2a},+\infty\right)$ 上单调递增．<br/>当 $a=2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．<br/>当 $a>2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac 2a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\sqrt{\dfrac 2a},1\right)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增 解析1 根据题意，$f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{(ax^2-2)(x-1)}{x^3},$$易得讨论的分界点为 $0,2$．<br/><case>情形一</case> $a\leqslant 0$．<br/>此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．<br/><case>情形二</case> $0<a<2$．<br/>此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $\left(1,\sqrt{\dfrac 2a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt{\dfrac 2a},+\infty\right)$ 上单调递增．<br/><case>情形三</case> $a=2$．<br/>此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．<br/><case>情形四</case> $a>2$．<br/>此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac 2a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\sqrt{\dfrac 2a},1\right)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增． 备注1 问题2 当 $a=1$ 时，证明：$f(x)>f'(x)+\dfrac 32$ 对于任意的 $x\in [1,2]$ 成立． 答案2 略 解析2 题中不等式即$$x-\ln x+\dfrac{2x-1}{x^2}-\dfrac{(x^2-2)(x-1)}{x^3}-\dfrac 32>0,$$我们熟知在区间 $[1,2]$ 上有$$\ln x \leqslant x-1,$$于是$$\begin{split}x-\ln x+\dfrac{2x-1}{x^2}-\dfrac{(x^2-2)(x-1)}{x^3}-\dfrac 32&\geqslant \dfrac{2x-1}{x^2}-\dfrac{(x^2-2)(x-1)}{x^3}-\dfrac 12\\ &=\dfrac{(3x^2-2)(2-x)}{2x^3},\end{split}$$等号当且仅当 $x=1$ 时取得．而在区间 $[1,2]$ 上，显然有$$\dfrac{(3x^2-2)(2-x)}{2x^3}\geqslant 0,$$等号当且仅当 $x=2$ 时取得．因此等号无法同时取得，题中不等式得证． 备注2