已知函数 $f\left( x \right) = x\ln x$．
【难度】
【出处】
2013年清华大学夏令营数学试题
【标注】
-
求函数 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {1, 3} \right]$ 上的最小值；标注答案$0$解析由 $f'\left( x \right) = 1 + \ln x$，于是 $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1, 3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0$．
-
若存在 $x \in \left[ {\dfrac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}} \right]$，使不等式 $2f\left( x \right) \geqslant - {x^2} + ax - 3$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．标注答案$\left( { - \infty , 3\mathrm{e} + \dfrac{1}{\mathrm{e}} - 2} \right]$解析$\exists x \in \left[ {\dfrac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}} \right], 2f\left( x \right) \geqslant - {x^2} + ax - 3$，等价于$$\exists x \in \left[ {\dfrac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}} \right], a \leqslant 2\ln x + x + \dfrac{3}{x},$$即 $a \leqslant \max\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}} \right]} \left( {2\ln x + x + \dfrac{3}{x}} \right)$，令$$g\left( x \right) = 2\ln x + x + \dfrac{3}{x},$$则 $g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2}}}$，于是$$\begin{split} \max\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}} \right]} g\left( x \right) =& \max \left( {g\left( {\dfrac{1}{\mathrm{e}}} \right), g\left( \mathrm{e} \right)} \right)\\=& \max \left( { - 2 + \dfrac{1}{\mathrm{e}} + 3\mathrm{e}, 2 + \mathrm{e} + \dfrac{3}{\mathrm{e}}} \right)\\=& 3\mathrm{e} + \dfrac{1}{\mathrm{e}} - 2.\end{split} $$于是 $a$ 的取值范围为 $\left( { - \infty , 3\mathrm{e} + \dfrac{1}{\mathrm{e}} - 2} \right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
