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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21014 5c6e07fa210b281dbaa93568 高中 解答题 自招竞赛 对给定的一个正整数 $n$．设 $p\left( n \right)$ 表示 $n$ 的各位上的非零的数字乘积（如果 $n$ 只有一位数字，那么 $p\left( n \right)$ 等于那个数字）．若 $S=p\left( 1 \right)+p\left( 2 \right)+p\left( 3 \right)+\cdots +p\left( 999 \right)$，则 $S$ 的最大素因子是多少？ 2022-04-17 20:05:05
21012 5c6e0820210b281dbaa9356f 高中 解答题 自招竞赛 求使方程组 $\left\{ \begin{align}
& ax+by=1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=50 \\
\end{align} \right.$ 至少有一解，且所有的解都是整数解的实数对 $\left( a b \right)$ 的个数．		 2022-04-17 20:03:05
21001 5c6e14b2210b281db9f4ca04 高中 解答题 自招竞赛 两个半径分别为3和6的圆外切，并且它们内切于半径为9的圆，一条大圆的弦是两个小圆的外公切线，如图所示．求这条弦长度的平方． 2022-04-17 20:55:04
20952 5c6f5a60210b280151d7496e 高中 解答题 自招竞赛 两位数学家每天早上都会抽空出来喝咖啡，他们每天都在早上9点至10点中的任一时刻只身到达自助餐厅，并呆上整整 $m$ 分钟．两人在自助餐厅里碰面的概率是 $40%$，令 $m=a-b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 为正整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:29:04
20928 5c6f8b16210b280151d74a2a 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f\left( x \right)=f\left( 398-x \right)=f\left( 2158-x \right)=f\left( 3214-x \right)$ 对于所有实数 $x$ 均成立，函数值列 $f\left( 0 \right)$，$f\left( 1 \right)$，$f\left( 2 \right)$，…，$f\left( 999 \right)$ 中最多有多少个不同的值？ 2022-04-17 20:17:04
20927 5c6f8b1f210b280151d74a2f 高中 解答题 自招竞赛 大草原的中央，一辆消防车停在相互垂直的两条高速公路程的交叉处，此消防车以每小时50英里的速度沿高速公路程行驶，以每小时14英里的速度横穿草原，由该车在6分钟内能到达的地点所围成的图形的面积为 $\frac{m}{n}$ 平方英里，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:17:04
20902 5c6f968c210b280150527473 高中 解答题 自招竞赛 将 $5\times N$ 点阵中的所有点从左到右、从上到下依次编号（如第一行的序号是从1到 $N$，第二行的序号是从 $N+1$ 到 $2N$，等等）．从第 $i$ 行中任意抽取一点 ${{P}_{i}}$，这样我们选择了5个点 ${{P}_{1}}$，${{P}_{2}}$，${{P}_{3}}$，${{P}_{4}}$ 和 ${{P}_{5}}$．设 ${{P}_{i}}$ 对应数 ${{x}_{i}}$．现在从第一列开始重新对点进行从左到右的编号，这时设 ${{P}_{i}}$ 对应数是 ${{y}_{i}}$．我们发现恰有 ${{x}_{1}}={{y}_{2}}$，${{x}_{2}}={{y}_{1}}$，${{x}_{3}}={{y}_{4}}$，${{x}_{4}}={{y}_{5}}$，${{x}_{5}}={{y}_{3}}$．求 $N$ 的最小可能值． 2022-04-17 20:04:04
20891 5c78f235210b284290fc268d 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f$ 具有如下性质：$f\left( 3x \right)=3f\left( x \right)$，对于所有正实数 $x$ 均成立，且 $f\left( x \right)=1-\left| x-2 \right|\left( 1\leqslant x\leqslant 3 \right)$．求满足 $f\left( x \right)=f\left( 2001 \right)$ 的正实数 $x$ 的最小值． 2022-04-17 20:00:04
20856 5c6fb696210b28428f14c98a 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{1}}$ 和圆 ${{C}_{2}}$ 相交于两点，其中一点的坐标为 $\left( 9 ,6 \right)$，两圆半径的乘积等于68．$x$ 轴和直线 $y=mx$ 都与两圆相切，其中 $m>0$．已知 $m$ 可以表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，$b$ 不能被任何素数的平方整除，$a$，$c$ 互素．试求 $a+b+c$ 的值． 2022-04-17 20:39:03
20847 5c749dc3210b284290fc224f 高中 解答题 自招竞赛 一个四位整数，若前两位之和等于后两位之和，称之为平衡的，问共有几个平衡数． 2022-04-17 20:34:03
20819 5c74b845210b28428f14cb92 高中 解答题 自招竞赛 定义在正整数集上的函数 $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& 1,x=1 \\
& x/10,x被10整除 \\
& x+1,其他 \\
\end{align} \right.$ 对于任意正整数 $x$，我们定义数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$
如下：${{x}_{1}}=x,{{x}_{n+1}}=f\left( {{x}_{n}} \right),n\in {{N}^{+}}$ 。定义 $d\left( x \right)$ 为满足 ${{x}_{n}}=1$ 的最小的 $n$ 。例如，$d\left( 100 \right)=3 d\left( 87 \right)=7$ 。设 $m$ 是满足 $d\left( x \right)=20$ 的正整数 $x$ 的个数，求 $m$ 的所有不同素因数之和。		 2022-04-17 20:20:03
20756 5c75f0fa210b28428f14ccd5 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{1}} {{C}_{2}} {{C}_{3}}$ 的圆心分别为 $\left( 0 ,0 \right) \left( 12 ,0 \right) \left( 24, 0 \right)$，它们的半径分别为 $1 ,2, 4$ 。直线 ${{t}_{1}}$ 是圆 ${{C}_{1}}$ 和 ${{C}_{2}}$ 的斜率为正的内公切线，直线 ${{t}_{2}}$ 是圆 ${{C}_{2}}$ 和 ${{C}_{3}}$ 的斜率为负的内公切线，设直线 ${{t}_{1}}$ 和 ${{t}_{2}}$ 交于点 $\left( x,y \right)$，且 $x=q-p\sqrt{r}$，其中 $p ,q ,r$ 为正整数，且 $r$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:43:02
20702 5c76208d210b28428f14cdd7 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=AC=100$，$BC=56$．⊙ $P$ 的半径为16，且与边 $AC$，$BC$ 相切．⊙ $Q$ 位于 $\vartriangle ABC$ 内部，且与⊙ $P$，$AB$，$BC$ 都相切．⊙ $Q$ 的半径可以写成 $m-n\sqrt{k}$ 的形式，其中 $m$，$n$，$k$ 都是正整数，且 $k$ 为一些不同素数之积，求 $m+nk$ 的值． 2022-04-17 20:12:02
20650 5927923b74a309000798cde6 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left( x \right) = {x^3}$，$g\left( x \right) = x + \sqrt x $． 2022-04-17 20:44:01
20649 592792d974a309000997fc25 高中 解答题 高考真题 已知函数 $ f\left(x\right)=\ln x-x+1 $，$ x\in \left(0,+\infty \right) $，求函数 $ f\left(x\right) $ 的最大值； 2022-04-17 20:43:01
20648 5927931d74a309000798cdf1 高中 解答题 高考真题 设函数 $f\left(x\right) = \ln \left(1 + x\right) - \dfrac{2x}{x + 2}$，证明：当 $x>0$ 时，$f\left(x\right)>0$； 2022-04-17 20:43:01
20645 5927a23674a309000813f69e 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}\}$，且 $\dfrac{S_{n}}{a_{n}}=\dfrac{1}{2}a_{n+1}(n\in\mathbb N^{*})$，其中 $a_{1}=1$，$a_{n}\ne 0$． 2022-04-17 20:41:01
20644 5927a43174a309000813f6a1 高中 解答题 高考真题 设 $x_{1},x_{2}$ 是 $f(x)=\dfrac{a}{3}x^{3}+\dfrac{b-1}{2}x^{2}+x(a,b\in\mathbb R,a>0)$ 的两个极值点，$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数． 2022-04-17 20:40:01
20453 5c999690210b280b2256bf95 高中 解答题 自招竞赛 对正整数 $n$，令 ${{d}_{n}}$ 为 $1+2+\cdots +n$ 的个位数。求 $\displaystyle \sum\limits_{n\text{=}1}^{2017}{{{d}_{n}}}$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:56:59
20037 5cb6de53210b280220ed1fc5 高中 解答题 自招竞赛 判断曲线 $f(x)=e^{x-1}$ 与曲 $g(x)=\ln x$ 线的公切线的条数，并说明理由 2022-04-17 19:01:56
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