查看数据源：5c749dc3210b284290fc224f
一个四位整数，若前两位之和等于后两位之和，称之为平衡的，问共有几个平衡数．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    函数极限
【答案】
615
【解析】
对一个4位平衡数，前两位数字的和至少1，至多为18．令 $f\left( n \right)$ 为两个数字之和为 $n$，且其中一个数字至少为1的解得数目，$g\left( n \right)$ 为两个数字之和为 $n$ 的解得数目，例如，因为 $3=1+2=2+1=3+0=0+3$，故 $f\left( 3 \right)=3$，$g\left( 3 \right)=4$（$f\left( 3 \right)$ 不计算最后一组解），则不难推出
$f\left(n \right)=\left\{ \begin{align}
& n \\
& 19-n \\
\end{align}\right.$ $\begin{align}& 1\leqslant n\leqslant 9 \\
& 10\leqslant n\leqslant 18 \\
\end{align}$ $g\left(n \right)=\left\{ \begin{align}& n+1 \\
& 19-n \\
\end{align}\right.$ $\begin{align}& 1\leqslant n\leqslant 9 \\
& 10\leqslant n\leqslant 18. \\
\end{align}$
对任意前两个数字和后两位数字之和为 $n$ 的平衡四位数，前两位数字可能的组合个数为 $f\left( n \right)$，因为前两位数字的首位至少为1，而后两位数可能的组合个数为 $g\left( n \right)$，故前两位数字与后两位数字之和都为 $n$ 的平衡四位数的个数为 $f\left( n \right)\cdot g\left( n \right)$，故平衡四位数的总个数为
$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{18}{f\left(n \right)\cdot g\left( n \right)}=\sum\limits_{n=1}^{9}{n\left( n+1\right)+\sum\limits_{n=1}^{9}{{{\left( 19-n \right)}^{2}}}}$
$\displaystyle =\sum\limits_{n=1}^{9}{\left({{n}^{2}}+n\right)}+\sum\limits_{n=1}^{9}{{{n}^{2}}}=2\sum\limits_{n=1}^{9}{{{n}^{2}}}+\sum\limits_{n=1}^{9}{n}=615$．
答案 解析 备注
0.119357s